Номер 12, страница 317 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Задание № 2 к § 7-11. Задания "Проверьте себя" в тестовой форме - номер 12, страница 317.

Условие.

12. В корзинке лежали яблоки и груши. Съели половину всех яблок и треть всех груш. Какое из следующих утверждений верно?

А) осталась половина фруктов

Б) осталась треть фруктов

В) осталось больше половины фруктов

Г) осталось меньше половины фруктов

Решение.

Решение 2.

Обозначим начальное количество яблок в корзинке за $a$, а начальное количество груш — за $p$. Согласно условию, в корзинке лежали и яблоки, и груши, что означает, что $a > 0$ и $p > 0$.

Изначально общее количество фруктов составляло $a + p$.

Была съедена половина ($\frac{1}{2}$) всех яблок, следовательно, количество оставшихся яблок равно:$a_{ост} = a - \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}a$

Была съедена треть ($\frac{1}{3}$) всех груш, следовательно, количество оставшихся груш равно:$p_{ост} = p - \frac{1}{3}p = \frac{2}{3}p$

Общее количество фруктов, оставшихся в корзинке, является суммой оставшихся яблок и груш:$Ф_{ост} = a_{ост} + p_{ост} = \frac{1}{2}a + \frac{2}{3}p$

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо сравнить количество оставшихся фруктов $Ф_{ост}$ с половиной от их первоначального количества. Половина от первоначального количества фруктов равна:$\frac{1}{2}(a + p) = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}p$

Сравним два выражения: $Ф_{ост} = \frac{1}{2}a + \frac{2}{3}p$ и $\frac{1}{2}(a+p) = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}p$.

Поскольку слагаемое $\frac{1}{2}a$ присутствует в обоих выражениях, результат сравнения зависит от слагаемых, содержащих $p$. Нам нужно сравнить $\frac{2}{3}p$ и $\frac{1}{2}p$.

Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ и $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$.Так как $\frac{4}{6} > \frac{3}{6}$, то и $\frac{2}{3}p > \frac{1}{2}p$ (поскольку количество груш $p$ положительно).

Следовательно, $\frac{1}{2}a + \frac{2}{3}p > \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}p$, что означает, что количество оставшихся фруктов больше половины от их первоначального количества.

Теперь проанализируем предложенные утверждения:

А) осталась половина фруктов
Это утверждение неверно. Как было доказано, количество оставшихся фруктов строго больше половины. Равенство было бы возможно только в том случае, если бы груш не было ($p=0$), что противоречит условию задачи.

Б) осталась треть фруктов
Это утверждение неверно. Поскольку осталось больше половины ($\frac{1}{2}$), а $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, то это утверждение не может быть верным.

В) осталось больше половины фруктов
Это утверждение верно, что и следует из нашего вывода $Ф_{ост} > \frac{1}{2}(a+p)$.

Г) осталось меньше половины фруктов
Это утверждение неверно, так как оно прямо противоречит результату нашего анализа.

Ответ: В