Номер 43, страница 12 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 43, страница 12.

Условие.

43. Верно ли утверждение:

1) сумма двух чётных чисел является чётным числом;

2) сумма двух нечётных чисел является нечётным числом;

3) сумма чётного и нечётного чисел является нечётным числом;

4) если сумма двух чисел является чётным числом, то и слагаемые — чётные числа;

5) произведение двух чётных чисел является чётным числом;

6) произведение двух нечётных чисел является нечётным числом;

7) произведение чётного и нечётного чисел является нечётным числом?

Решение.

Решение 2.

1) сумма двух чётных чисел является чётным числом

Чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ – целое число. Пусть у нас есть два чётных числа: $a = 2k$ и $b = 2m$, где $k$ и $m$ – целые числа. Их сумма равна: $a + b = 2k + 2m = 2(k + m)$. Так как $k$ и $m$ – целые числа, то их сумма $(k+m)$ также является целым числом. Обозначим $n = k+m$. Тогда сумма $a+b$ равна $2n$, что по определению является чётным числом. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Верно.

2) сумма двух нечётных чисел является нечётным числом

Нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ – целое число. Пусть у нас есть два нечётных числа: $a = 2k+1$ и $b = 2m+1$, где $k$ и $m$ – целые числа. Их сумма равна: $a + b = (2k+1) + (2m+1) = 2k + 2m + 2 = 2(k+m+1)$. Так как $k$ и $m$ – целые числа, то $(k+m+1)$ также является целым числом. Обозначим $n = k+m+1$. Тогда сумма $a+b$ равна $2n$, что по определению является чётным числом. Утверждение гласит, что сумма нечётна, что противоречит нашему результату.
Ответ: Неверно.

3) сумма чётного и нечётного чисел является нечётным числом

Пусть чётное число равно $a = 2k$, а нечётное число равно $b = 2m+1$, где $k$ и $m$ – целые числа. Их сумма равна: $a + b = 2k + (2m+1) = 2k + 2m + 1 = 2(k+m) + 1$. Так как $k$ и $m$ – целые числа, то $(k+m)$ также является целым числом. Обозначим $n = k+m$. Тогда сумма $a+b$ равна $2n+1$, что по определению является нечётным числом. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Верно.

4) если сумма двух чисел является чётным числом, то и слагаемые — чётные числа

Это утверждение неверно. Рассмотрим контрпример. Пусть слагаемые - это два нечётных числа, например, 3 и 5. Их сумма: $3 + 5 = 8$. Сумма (8) является чётным числом, но слагаемые (3 и 5) не являются чётными. Сумма двух чисел является чётной, если оба слагаемых чётные или оба слагаемых нечётные. Утверждение рассматривает только первый случай как единственно возможный, что неверно.
Ответ: Неверно.

5) произведение двух чётных чисел является чётным числом

Пусть у нас есть два чётных числа: $a = 2k$ и $b = 2m$, где $k$ и $m$ – целые числа. Их произведение равно: $a \cdot b = (2k) \cdot (2m) = 4km = 2(2km)$. Так как $k$ и $m$ – целые числа, то $(2km)$ также является целым числом. Обозначим $n = 2km$. Тогда произведение $a \cdot b$ равно $2n$, что по определению является чётным числом. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Верно.

6) произведение двух нечётных чисел является нечётным числом

Пусть у нас есть два нечётных числа: $a = 2k+1$ и $b = 2m+1$, где $k$ и $m$ – целые числа. Их произведение равно: $a \cdot b = (2k+1)(2m+1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km + k + m) + 1$. Так как $k$ и $m$ – целые числа, то $(2km + k + m)$ также является целым числом. Обозначим $n = 2km + k + m$. Тогда произведение $a \cdot b$ равно $2n+1$, что по определению является нечётным числом. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Верно.

7) произведение чётного и нечётного чисел является нечётным числом?

Пусть чётное число равно $a = 2k$, а нечётное число равно $b = 2m+1$, где $k$ и $m$ – целые числа. Их произведение равно: $a \cdot b = (2k)(2m+1) = 4km + 2k = 2(2km + k)$. Так как $k$ и $m$ – целые числа, то $(2km + k)$ также является целым числом. Обозначим $n = 2km + k$. Тогда произведение $a \cdot b$ равно $2n$, что по определению является чётным числом. Утверждение гласит, что произведение нечётно, что противоречит нашему результату.
Ответ: Неверно.