Номер 48, страница 13 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 48, страница 13.

Условие.

48. Запишите все четырёхзначные числа, кратные числу 5, для записи которых используют цифры 0, 3, 5, 7 (цифры не могут повторяться).

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы четырёхзначное число было кратным 5, его последняя цифра должна быть либо 0, либо 5. Также, согласно условию, число должно быть четырёхзначным, а значит, оно не может начинаться с цифры 0. Все цифры в числе должны быть различны и выбраны из набора {0, 3, 5, 7}.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Последняя цифра числа — 0.

Если число оканчивается на 0, то оно имеет вид _ _ _ 0. Оставшиеся три цифры (3, 5, 7) нужно расставить на первых трёх позициях. Первая цифра не может быть нулём, что в данном случае выполняется автоматически. Количество возможных перестановок из трёх цифр равно $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Перечислим эти числа:

• 3570
• 3750
• 5370
• 5730
• 7350
• 7530

Всего в этом случае 6 чисел.

Случай 2: Последняя цифра числа — 5.

Если число оканчивается на 5, то оно имеет вид _ _ _ 5. Оставшиеся три цифры (0, 3, 7) нужно расставить на первых трёх позициях.

• На первую позицию (разряд тысяч) мы не можем поставить 0. Значит, на неё можно поставить либо 3, либо 7 (2 варианта).
• На вторую позицию (разряд сотен) можно поставить любую из двух оставшихся цифр (включая 0). Например, если на первом месте стоит 3, то на втором могут быть 0 или 7 (2 варианта).
• На третью позицию (разряд десятков) остаётся одна последняя цифра (1 вариант).

Общее количество таких чисел равно $2 \times 2 \times 1 = 4$.

Перечислим эти числа:

• Если первая цифра 3, а последняя 5, то в середине могут быть 0 и 7. Получаем числа: 3075, 3705.
• Если первая цифра 7, а последняя 5, то в середине могут быть 0 и 3. Получаем числа: 7035, 7305.

Всего в этом случае 4 числа.

Суммируя количество чисел из обоих случаев, получаем общее количество искомых чисел: $6 + 4 = 10$.

Ответ: 3075, 3570, 3705, 3750, 5370, 5730, 7035, 7305, 7350, 7530.