Номер 54, страница 13 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 54, страница 13.

Условие.

54. Может ли число, в записи которого все цифры равны 1, делиться нацело на число, в записи которого все цифры равны 2?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи рассмотрим свойства чётности чисел, о которых идет речь.

Пусть $N_1$ — это число, в записи которого все цифры равны 1. Например, 1, 11, 111 и так далее. Независимо от количества цифр, такое число всегда оканчивается на 1, а следовательно, является нечётным.

Пусть $N_2$ — это число, в записи которого все цифры равны 2. Например, 2, 22, 222 и так далее. Такое число всегда оканчивается на 2, а следовательно, является чётным.

Вопрос заключается в том, может ли число $N_1$ делиться нацело на число $N_2$.

Предположим, что это возможно. Если число $N_1$ делится нацело на $N_2$, то должно существовать такое целое число $k$, что выполняется равенство:

$N_1 = k \cdot N_2$

Из этого равенства следует, что нечётное число $N_1$ является произведением некоторого целого числа $k$ и чётного числа $N_2$. Однако произведение любого целого числа на чётное число всегда является чётным. Это означает, что $N_1$ должно быть чётным числом.

Таким образом, мы приходим к противоречию:

• С одной стороны, число $N_1$, состоящее из единиц, всегда нечётное.
• С другой стороны, если бы оно делилось на чётное число $N_2$, оно должно было бы быть чётным.

Так как число не может быть одновременно и чётным, и нечётным, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Нет, не может. Нечётное число (состоящее из единиц) не может нацело делиться на чётное число (состоящее из двоек), так как результатом такого деления не может быть целое число.