Номер 56, страница 13 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 56, страница 13.

Условие.

56. 1) Сумма двух натуральных чисел является нечётным числом. Чётным или нечётным числом будет их произведение?

2) Сумма двух натуральных чисел является чётным числом. Обязательно ли их произведение будет чётным числом?

Решение.

Решение 2.

1)

Пусть даны два натуральных числа, обозначим их $a$ и $b$. По условию, их сумма $a + b$ является нечётным числом.

Сумма двух натуральных чисел является нечётной тогда и только тогда, когда одно из слагаемых — чётное, а другое — нечётное.Рассмотрим возможные варианты:
• Чётное + Чётное = Чётное. Например, $2 + 4 = 6$.
• Нечётное + Нечётное = Чётное. Например, $3 + 5 = 8$.
• Чётное + Нечётное = Нечётное. Например, $2 + 3 = 5$.

Таким образом, чтобы сумма была нечётной, одно из чисел должно быть чётным, а другое — нечётным.

Теперь рассмотрим их произведение $a \cdot b$. Произведение любого числа на чётное число всегда является чётным. Поскольку одно из чисел ($a$ или $b$) обязательно является чётным, их произведение также будет чётным.
Например, если $a$ — чётное, то его можно представить как $a = 2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда произведение $a \cdot b = (2k) \cdot b = 2(kb)$. Это число делится на 2, следовательно, оно чётное.

Ответ: Произведение будет чётным числом.

2)

По условию, сумма двух натуральных чисел $a$ и $b$ является чётным числом.

Как было показано выше, сумма двух чисел является чётной, если оба числа имеют одинаковую чётность, то есть:
• Либо оба числа чётные.
• Либо оба числа нечётные.

Проверим, каким будет их произведение в каждом из этих случаев:

Случай 1: Оба числа чётные.
Пусть $a = 2$ и $b = 6$. Их сумма $2 + 6 = 8$ (чётное). Их произведение $2 \cdot 6 = 12$ (чётное).
В общем виде, если $a=2k$ и $b=2m$, то их произведение $a \cdot b = (2k)(2m) = 4km = 2(2km)$, что всегда является чётным числом.

Случай 2: Оба числа нечётные.
Пусть $a = 3$ и $b = 5$. Их сумма $3 + 5 = 8$ (чётное). Их произведение $3 \cdot 5 = 15$ (нечётное).
В общем виде, если $a=2k-1$ и $b=2m-1$, то их произведение $a \cdot b = (2k-1)(2m-1) = 4km - 2k - 2m + 1 = 2(2km - k - m) + 1$, что всегда является нечётным числом.

Поскольку существует случай (когда оба числа нечётные), при котором произведение является нечётным, то утверждение, что произведение обязательно будет чётным, неверно.

Ответ: Не обязательно. Произведение будет чётным, если оба числа чётные, и нечётным, если оба числа нечётные.