Номер 63, страница 14 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 63, страница 14.

Условие.

63. Верно ли, что из любых трёх натуральных чисел всегда найдутся два таких, сумма которых делится нацело на 2?

Решение 2.

Да, это утверждение верно.

Чтобы сумма двух натуральных чисел делилась нацело на 2, она должна быть чётной. Сумма двух чисел является чётной в двух случаях:

• когда оба числа чётные (сумма двух чётных чисел всегда чётна: $2k_1 + 2k_2 = 2(k_1 + k_2)$);
• когда оба числа нечётные (сумма двух нечётных чисел всегда чётна: $(2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) = 2k_1 + 2k_2 + 2 = 2(k_1 + k_2 + 1)$).

Таким образом, задача сводится к доказательству того, что среди любых трёх натуральных чисел всегда найдутся два числа одинаковой чётности (то есть либо оба чётные, либо оба нечётные).

Каждое натуральное число может быть либо чётным, либо нечётным. Рассмотрим произвольный набор из трёх натуральных чисел.

Воспользуемся принципом Дирихле (принципом ящиков). В нашем случае есть два "ящика" — "чётные числа" и "нечётные числа", и есть три "предмета" — наши три натуральных числа.

Поскольку у нас 3 числа, а возможных вариантов чётности всего 2, то по принципу Дирихле как минимум два числа из трёх обязательно попадут в один "ящик". Это означает, что среди любых трёх натуральных чисел по меньшей мере два будут иметь одинаковую чётность.

Как мы установили ранее, сумма двух чисел одинаковой чётности всегда является чётным числом, а значит, делится на 2.

Таким образом, из любых трёх натуральных чисел всегда можно выбрать два, сумма которых будет делиться нацело на 2.

Ответ: да, верно.