Номер 67, страница 14 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 67, страница 14.

Условие.

67. Можно ли в выражении $1 + 2 + 3 + \dots + 8 + 9$ заменить некоторые знаки «+» на знаки «-» так, чтобы значение полученного числового выражения было равным $18$?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы ответить на этот вопрос, сначала найдем сумму всех чисел в выражении, если все знаки — плюсы.

Сумма чисел от 1 до 9 является суммой арифметической прогрессии и вычисляется по формуле $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$.

$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = \frac{9 \cdot (1 + 9)}{2} = \frac{90}{2} = 45$.

Теперь рассмотрим, что происходит при замене знака «+» на «-» перед некоторым числом $k$. Изначально это число $k$ прибавлялось к общей сумме. После смены знака оно будет вычитаться. Это означает, что общая сумма $S$ изменится на величину $(-k) - (+k) = -2k$. То есть сумма уменьшится на $2k$. Важно, что величина изменения ($2k$) всегда является четным числом.

Исходная сумма $S=45$ — нечетное число. Требуемый результат, 18, — четное число.

Когда мы меняем знаки у некоторых чисел, мы вычитаем из исходной суммы (45) несколько четных чисел вида $2k$. Вычитание четного числа из нечетного всегда дает в результате нечетное число. Например, $45 - 2k_1$ — нечетное. $(45 - 2k_1) - 2k_2$ — снова нечетное, и так далее. Таким образом, итоговый результат при любой замене знаков будет нечетным числом.

Поскольку 18 является четным числом, получить его в результате невозможно.

Другой способ рассуждения: пусть $X$ — это сумма всех чисел, перед которыми знак «+» был заменен на «-». Тогда новое значение выражения можно записать как $45 - 2X$. По условию, оно должно быть равно 18.

$45 - 2X = 18$

$2X = 45 - 18$

$2X = 27$

$X = \frac{27}{2} = 13.5$

Таким образом, сумма чисел, перед которыми нужно поставить знак «-», должна равняться 13.5. Но все числа в выражении (1, 2, ..., 9) являются целыми. Сумма любого набора этих чисел также будет целым числом. Следовательно, получить сумму 13.5 невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.