Номер 72, страница 15 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 72, страница 15.

Условие.

Задача от мудрой совы

72. В клетках таблицы размером $3 \times 3$ стоят нули. Разрешается выбрать любой квадрат размером $2 \times 2$ клетки и увеличить числа во всех его клетках на единицу. Можно ли после нескольких таких операций получить таблицу, изображённую на рисунке 1?

Рис. 1
4 6 5
7 18 9
6 10 7

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи проанализируем, как изменяются числа в ячейках таблицы. Изначально все ячейки содержат нули. Операция заключается в увеличении на 1 чисел в некотором квадрате размером 2×2.

В таблице 3×3 есть четыре таких квадрата 2×2:

• Левый верхний (затрагивает ячейки в строках 1-2, столбцах 1-2)
• Правый верхний (затрагивает ячейки в строках 1-2, столбцах 2-3)
• Левый нижний (затрагивает ячейки в строках 2-3, столбцах 1-2)
• Правый нижний (затрагивает ячейки в строках 2-3, столбцах 2-3)

Обозначим количество раз, которое мы применили операцию к каждому из этих квадратов, через $x_1$, $x_2$, $x_3$ и $x_4$ соответственно. Теперь посмотрим, как число в каждой ячейке итоговой таблицы зависит от этих величин.

Обозначим ячейки таблицы как $a_{ij}$, где $i$ — номер строки, а $j$ — номер столбца.
1. Угловая ячейка $a_{11}$ (в ней стоит число 4) затрагивается только операцией для левого верхнего квадрата. Следовательно, её значение равно $x_1$. Таким образом, $x_1 = 4$.
2. Аналогично, угловая ячейка $a_{13}$ (число 5) затрагивается только операцией для правого верхнего квадрата. Значит, $x_2 = 5$.
3. Угловая ячейка $a_{31}$ (число 6) затрагивается только операцией для левого нижнего квадрата. Значит, $x_3 = 6$.
4. Угловая ячейка $a_{33}$ (число 7) затрагивается только операцией для правого нижнего квадрата. Значит, $x_4 = 7$.

Итак, мы однозначно определили, сколько раз должна была быть выполнена каждая операция, чтобы получились числа в углах. Теперь проверим, соответствуют ли эти количества операций числам в остальных ячейках.

Рассмотрим ячейку $a_{12}$ (верхняя центральная, в ней стоит число 6). Её значение увеличивается при операциях с левым верхним ($x_1$) и правым верхним ($x_2$) квадратами. Значит, её итоговое значение должно быть равно $x_1 + x_2$.
Подставим найденные нами значения: $a_{12} = 4 + 5 = 9$.
Однако в таблице, приведённой на рисунке, в этой ячейке стоит число 6. Мы получили противоречие: $9 \neq 6$.

Поскольку мы нашли несоответствие, можно сделать вывод, что получить данную таблицу с помощью указанных операций невозможно. Для полноты картины можно проверить и другие ячейки:

• $a_{21} = x_1 + x_3 = 4 + 6 = 10$. В таблице стоит 7. ($10 \neq 7$)
• $a_{23} = x_2 + x_4 = 5 + 7 = 12$. В таблице стоит 9. ($12 \neq 9$)
• $a_{32} = x_3 + x_4 = 6 + 7 = 13$. В таблице стоит 10. ($13 \neq 10$)
• $a_{22} = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4 + 5 + 6 + 7 = 22$. В таблице стоит 18. ($22 \neq 18$)

Все не угловые ячейки не соответствуют требуемым значениям.

Ответ: нет, нельзя.