Номер 2, страница 16 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 3. Признаки делимости на 9 и на 3. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 2, страница 16.

Условие.

2. Как по записи натурального числа определить, кратно оно 3 или нет?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы определить, кратно ли натуральное число 3 (то есть делится ли оно на 3 без остатка), необходимо воспользоваться признаком делимости на 3.

Правило

Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Алгоритм проверки:

1. Взять натуральное число.
2. Сложить все цифры, из которых состоит это число.
3. Проверить, делится ли полученная сумма на 3.
4. Если сумма цифр делится на 3, то и исходное число делится на 3. Если сумма не делится на 3, то и число не делится на 3.

Примеры

• Число 789.
  Находим сумму его цифр: $7 + 8 + 9 = 24$.
  Число 24 делится на 3 ($24 \div 3 = 8$).
  Следовательно, число 789 кратно 3. (Проверка: $789 \div 3 = 263$).

• Число 1042.
  Находим сумму его цифр: $1 + 0 + 4 + 2 = 7$.
  Число 7 не делится на 3 без остатка.
  Следовательно, число 1042 не кратно 3.

• Число 998877.
  Находим сумму его цифр: $9 + 9 + 8 + 8 + 7 + 7 = 48$.
  Сумма 48 – большое число, и мы можем применить правило еще раз уже к ней: $4 + 8 = 12$.
  Число 12 делится на 3 ($12 \div 3 = 4$).
  Следовательно, число 998877 кратно 3.

Математическое обоснование

Рассмотрим любое натуральное число $N$, которое в десятичной системе счисления записывается цифрами $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$. Его можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:$N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0$.

Каждую степень десяти можно представить как сумму числа, состоящего из девяток, и единицы. Например:$10 = 9 + 1$$100 = 99 + 1$$1000 = 999 + 1$В общем виде: $10^k = \underbrace{99\dots9}_{k \text{ раз}} + 1$.Число, состоящее из девяток, всегда делится на 3.Подставим это в запись числа $N$:$N = a_n(\underbrace{99\dots9}_{n \text{ раз}}+1) + a_{n-1}(\underbrace{99\dots9}_{n-1 \text{ раз}}+1) + \dots + a_1(9+1) + a_0$.Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:$N = (a_n \cdot \underbrace{99\dots9}_{n \text{ раз}} + a_{n-1} \cdot \underbrace{99\dots9}_{n-1 \text{ раз}} + \dots + a_1 \cdot 9) + (a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0)$.

Первая скобка представляет собой сумму слагаемых, каждое из которых делится на 3, а значит, и вся сумма в первой скобке делится на 3.Следовательно, делимость числа $N$ на 3 зависит только от делимости на 3 второй скобки, которая является суммой цифр исходного числа.

Ответ: Чтобы определить, кратно ли натуральное число 3, нужно найти сумму его цифр. Если полученная сумма делится на 3, то и само число кратно 3. В противном случае число не кратно 3.