Номер 64, страница 14 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 64, страница 14.

Условие.

64. Сколькими нулями оканчивается запись числа, которое равно произведению:

1) $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 15 \cdot 16$;

2) $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 25 \cdot 26$?

Решение.

Решение 2.

Количество нулей, на которое оканчивается число, определяется количеством множителей 10 в его разложении на простые множители. Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, нам необходимо найти, сколько пар простых множителей (2, 5) содержится в произведении. В произведении чисел от 1 до $n$ (то есть в $n!$) множителей 2 всегда больше, чем множителей 5. Поэтому количество нулей на конце равно количеству множителей 5.

1) $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 15 \cdot 16$

Данное произведение равно $16!$. Чтобы найти количество нулей на конце этого числа, нужно посчитать количество множителей 5 в его разложении на простые множители.

Числа от 1 до 16, которые делятся на 5: 5, 10, 15.
Число 5 ($5^1$) дает один множитель 5.
Число 10 ($2 \cdot 5^1$) дает один множитель 5.
Число 15 ($3 \cdot 5^1$) дает один множитель 5.

Общее количество множителей 5 равно $1 + 1 + 1 = 3$.
Количество множителей 2 очевидно больше трех, поэтому можно сформировать ровно 3 пары (2, 5). Следовательно, запись числа $16!$ оканчивается тремя нулями.

Для проверки можно использовать формулу Лежандра, которая определяет показатель степени простого числа $p$ в разложении $n!$:
$E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$
Для $n=16$ и $p=5$ получаем:
$E_5(16!) = \lfloor \frac{16}{5} \rfloor + \lfloor \frac{16}{25} \rfloor + \ldots = 3 + 0 = 3$.
Ответ: 3

2) $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 25 \cdot 26$

Данное произведение равно $26!$. Аналогично предыдущему пункту, посчитаем количество множителей 5.

Числа от 1 до 26, которые делятся на 5: 5, 10, 15, 20, 25.
Число 5 ($5^1$) дает один множитель 5.
Число 10 ($2 \cdot 5^1$) дает один множитель 5.
Число 15 ($3 \cdot 5^1$) дает один множитель 5.
Число 20 ($4 \cdot 5^1$) дает один множитель 5.
Число 25 ($5^2$) дает два множителя 5.

Общее количество множителей 5 равно $1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6$.
Поскольку множителей 2 в произведении достаточно, можно сформировать 6 пар (2, 5). Следовательно, запись числа $26!$ оканчивается шестью нулями.

Проверим по формуле Лежандра для $n=26$ и $p=5$:
$E_5(26!) = \lfloor \frac{26}{5} \rfloor + \lfloor \frac{26}{25} \rfloor + \lfloor \frac{26}{125} \rfloor + \ldots = 5 + 1 + 0 = 6$.
Ответ: 6