Номер 58, страница 14 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 58, страница 14.

Условие.

58. Сумма девяти натуральных чисел равна 1 000. Можно ли утверждать, что их произведение – чётное число? Ответ объясните.

Решение.

Решение 2.

Да, можно утверждать, что произведение этих девяти натуральных чисел — чётное число. Объяснение основано на свойствах чётности чисел.

1. Произведение нескольких натуральных чисел является чётным, если хотя бы один из множителей — чётное число. Произведение будет нечётным только в том случае, если все множители являются нечётными.

2. Чтобы доказать утверждение, воспользуемся методом от противного. Предположим, что произведение данных девяти чисел — нечётное. Это возможно лишь тогда, когда все девять натуральных чисел являются нечётными.

3. Теперь рассмотрим сумму этих девяти нечётных чисел. Известно, что:

• сумма двух нечётных чисел — чётное число (например, $3+5=8$);
• сумма чётного и нечётного числа — нечётное число (например, $8+3=11$).

Таким образом, сумма нечётного количества нечётных слагаемых всегда является нечётным числом. В нашем случае мы имеем сумму девяти (нечётное количество) нечётных чисел. Такая сумма обязательно будет нечётной.

Например: $(\text{неч} + \text{неч}) + (\text{неч} + \text{неч}) + (\text{неч} + \text{неч}) + (\text{неч} + \text{неч}) + \text{неч} = \text{чёт} + \text{чёт} + \text{чёт} + \text{чёт} + \text{неч} = \text{неч}$.

4. Однако по условию задачи сумма этих девяти чисел равна 1000. Число 1000 — чётное. Мы получили противоречие: из нашего предположения (что все числа нечётные) следует, что их сумма должна быть нечётной, но по условию она чётная.

5. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, не все девять чисел могут быть нечётными. Это значит, что среди них есть по крайней мере одно чётное число.

6. А поскольку среди девяти чисел есть хотя бы одно чётное, их произведение гарантированно будет чётным числом.

Ответ: Да, можно утверждать, что их произведение — чётное число, так как среди девяти натуральных чисел, сумма которых равна чётному числу 1000, обязательно найдётся хотя бы одно чётное число.