Номер 55, страница 13 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 55, страница 13.

Условие.

55. Может ли число, в записи которого все цифры равны 2, делиться нацело на число, в записи которого все цифры равны:

1) 1;

2) 5?

Решение.

Решение 2.

1)

Да, может. Обозначим число, в записи которого $n$ раз используется цифра 2, как $A_n$. Обозначим число, в записи которого $m$ раз используется цифра 1, как $B_m$.

Число $A_n$ можно представить как произведение $2$ и числа, состоящего из $n$ единиц. То есть, $A_n = 2 \cdot \underbrace{11...1}_{n}$.

Задача сводится к вопросу, может ли частное $\frac{A_n}{B_m} = \frac{2 \cdot \overbrace{11...1}^{n}}{ \underbrace{11...1}_{m}}$ быть целым числом.

Существует свойство делимости для чисел, состоящих из единиц: число, состоящее из $n$ единиц, делится нацело на число, состоящее из $m$ единиц, тогда и только тогда, когда $n$ кратно $m$.

Следовательно, если мы выберем количество двоек $n$ так, чтобы оно было кратно количеству единиц $m$ (например, $n=2m$), то частное $\frac{\overbrace{11...1}^{n}}{\underbrace{11...1}_{m}}$ будет целым числом. Произведение этого целого числа на 2 также будет целым числом.

Например, возьмем число $B_2 = 11$ ($m=2$) в качестве делителя. В качестве делимого выберем число $A_4 = 2222$, где количество двоек $n=4$ кратно $m=2$.

Проверим деление: $2222 \div 11 = 202$.

Деление выполняется нацело, что подтверждает возможность.

Ответ: да, может.

2)

Нет, не может. Обозначим число, состоящее из $n$ двоек, как $A_n$, а число, состоящее из $m$ пятерок, как $C_m$.

Рассмотрим делитель $C_m = 55...5$. Поскольку это число оканчивается на цифру 5, оно делится нацело на 5 по признаку делимости на 5.

Если предположить, что число $A_n$ делится нацело на $C_m$, то $A_n$ должно делиться и на все простые множители числа $C_m$. Так как 5 является простым множителем числа $C_m$, то $A_n$ также должно делиться на 5.

Теперь рассмотрим делимое $A_n = 22...2$. Это число всегда оканчивается на цифру 2.

Согласно признаку делимости на 5, число делится на 5 только в том случае, если его последняя цифра 0 или 5. Поскольку число $A_n$ оканчивается на 2, оно не может делиться на 5.

Мы пришли к противоречию: из нашего предположения следует, что $A_n$ должно делиться на 5, но по свойствам самого числа $A_n$ оно на 5 не делится. Следовательно, исходное предположение неверно.

Ответ: нет, не может.