Номер 463, страница 90 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Деление дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 463, страница 90.

Условие.

463. Решите уравнение:

1) $5 \frac{11}{14} x - \frac{8}{15} = \frac{5}{21};$

2) $7 \frac{3}{10} + \frac{25}{28} x = 8 \frac{13}{35};$

3) $3 \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{20} x = 1 \frac{14}{15};$

4) $\frac{3}{8} x + \frac{7}{12} x - \frac{5}{6} x = \frac{9}{32};$

5) $2 \frac{1}{3} : x - 1 \frac{1}{6} = 1 \frac{5}{9};$

6) $2 \frac{1}{3} : \left(x - 1 \frac{1}{6}\right) = 1 \frac{5}{9};$

7) $27 : \left(31 \frac{3}{7} - 2 \frac{11}{14} x\right) = 1 \frac{1}{8};$

8) $48 : \left(3 \frac{4}{5} x - 25\right) = 1 \frac{1}{2}.$

Решение.

Решение 2.

1) $5\frac{11}{14}x - \frac{8}{15} = \frac{5}{21}$
$5\frac{11}{14}x = \frac{5}{21} + \frac{8}{15}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 105.
$5\frac{11}{14}x = \frac{5 \cdot 5}{105} + \frac{8 \cdot 7}{105}$
$5\frac{11}{14}x = \frac{25 + 56}{105}$
$5\frac{11}{14}x = \frac{81}{105}$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{11}{14} = \frac{5 \cdot 14 + 11}{14} = \frac{81}{14}$.
$\frac{81}{14}x = \frac{81}{105}$
$x = \frac{81}{105} : \frac{81}{14}$
$x = \frac{81}{105} \cdot \frac{14}{81}$
$x = \frac{14}{105}$
Сократим дробь на 7:
$x = \frac{2}{15}$
Ответ: $\frac{2}{15}$

2) $7\frac{3}{10} + \frac{25}{28}x = 8\frac{13}{35}$
$\frac{25}{28}x = 8\frac{13}{35} - 7\frac{3}{10}$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $8\frac{13}{35} = \frac{293}{35}$, $7\frac{3}{10} = \frac{73}{10}$.
$\frac{25}{28}x = \frac{293}{35} - \frac{73}{10}$
Общий знаменатель для 35 и 10 равен 70.
$\frac{25}{28}x = \frac{293 \cdot 2}{70} - \frac{73 \cdot 7}{70}$
$\frac{25}{28}x = \frac{586 - 511}{70}$
$\frac{25}{28}x = \frac{75}{70}$
Сократим дробь в правой части на 5: $\frac{75}{70} = \frac{15}{14}$.
$\frac{25}{28}x = \frac{15}{14}$
$x = \frac{15}{14} : \frac{25}{28}$
$x = \frac{15}{14} \cdot \frac{28}{25}$
$x = \frac{3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 14}{14 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{6}{5}$
$x = 1\frac{1}{5}$
Ответ: $1\frac{1}{5}$

3) $3\frac{1}{3} - 1\frac{1}{20}x = 1\frac{14}{15}$
$1\frac{1}{20}x = 3\frac{1}{3} - 1\frac{14}{15}$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{1}{20} = \frac{21}{20}$, $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$, $1\frac{14}{15} = \frac{29}{15}$.
$\frac{21}{20}x = \frac{10}{3} - \frac{29}{15}$
Общий знаменатель для 3 и 15 равен 15.
$\frac{21}{20}x = \frac{10 \cdot 5}{15} - \frac{29}{15}$
$\frac{21}{20}x = \frac{50 - 29}{15}$
$\frac{21}{20}x = \frac{21}{15}$
$x = \frac{21}{15} : \frac{21}{20}$
$x = \frac{21}{15} \cdot \frac{20}{21}$
$x = \frac{20}{15}$
Сократим дробь на 5: $x = \frac{4}{3}$.
$x = 1\frac{1}{3}$
Ответ: $1\frac{1}{3}$

4) $\frac{3}{8}x + \frac{7}{12}x - \frac{5}{6}x = \frac{9}{32}$
Вынесем $x$ за скобки:
$(\frac{3}{8} + \frac{7}{12} - \frac{5}{6})x = \frac{9}{32}$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 24.
$(\frac{3 \cdot 3}{24} + \frac{7 \cdot 2}{24} - \frac{5 \cdot 4}{24})x = \frac{9}{32}$
$(\frac{9 + 14 - 20}{24})x = \frac{9}{32}$
$\frac{3}{24}x = \frac{9}{32}$
Сократим дробь $\frac{3}{24}$ на 3: $\frac{1}{8}$.
$\frac{1}{8}x = \frac{9}{32}$
$x = \frac{9}{32} : \frac{1}{8}$
$x = \frac{9}{32} \cdot 8$
$x = \frac{9 \cdot 8}{32} = \frac{9}{4}$
$x = 2\frac{1}{4}$
Ответ: $2\frac{1}{4}$

5) $2\frac{1}{3} : x - 1\frac{1}{6} = 1\frac{5}{9}$
$2\frac{1}{3} : x = 1\frac{5}{9} + 1\frac{1}{6}$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$, $1\frac{5}{9} = \frac{14}{9}$, $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$.
$\frac{7}{3} : x = \frac{14}{9} + \frac{7}{6}$
Общий знаменатель для 9 и 6 равен 18.
$\frac{7}{3} : x = \frac{14 \cdot 2}{18} + \frac{7 \cdot 3}{18}$
$\frac{7}{3} : x = \frac{28 + 21}{18}$
$\frac{7}{3} : x = \frac{49}{18}$
Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
$x = \frac{7}{3} : \frac{49}{18}$
$x = \frac{7}{3} \cdot \frac{18}{49}$
$x = \frac{7 \cdot 18}{3 \cdot 49} = \frac{1 \cdot 6}{1 \cdot 7} = \frac{6}{7}$
Ответ: $\frac{6}{7}$

6) $2\frac{1}{3} : (x - 1\frac{1}{6}) = 1\frac{5}{9}$
Чтобы найти неизвестный делитель $(x - 1\frac{1}{6})$, нужно делимое разделить на частное.
$x - 1\frac{1}{6} = 2\frac{1}{3} : 1\frac{5}{9}$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$, $1\frac{5}{9} = \frac{14}{9}$.
$x - 1\frac{1}{6} = \frac{7}{3} : \frac{14}{9}$
$x - 1\frac{1}{6} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{14}$
$x - 1\frac{1}{6} = \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 14} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$
$x = \frac{3}{2} + 1\frac{1}{6}$
$x = \frac{3}{2} + \frac{7}{6}$
$x = \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{7}{6} = \frac{9+7}{6} = \frac{16}{6}$
$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$
Ответ: $2\frac{2}{3}$

7) $27 : (31\frac{3}{7} - 2\frac{11}{14}x) = 1\frac{1}{8}$
Найдем неизвестный делитель.
$31\frac{3}{7} - 2\frac{11}{14}x = 27 : 1\frac{1}{8}$
Преобразуем $1\frac{1}{8}$ в неправильную дробь $\frac{9}{8}$.
$31\frac{3}{7} - 2\frac{11}{14}x = 27 : \frac{9}{8} = 27 \cdot \frac{8}{9} = 3 \cdot 8 = 24$
$31\frac{3}{7} - 2\frac{11}{14}x = 24$
$2\frac{11}{14}x = 31\frac{3}{7} - 24$
$2\frac{11}{14}x = 7\frac{3}{7}$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{11}{14} = \frac{39}{14}$, $7\frac{3}{7} = \frac{52}{7}$.
$\frac{39}{14}x = \frac{52}{7}$
$x = \frac{52}{7} : \frac{39}{14} = \frac{52}{7} \cdot \frac{14}{39}$
$x = \frac{52 \cdot 14}{7 \cdot 39} = \frac{(4 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 7)}{7 \cdot (3 \cdot 13)} = \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{8}{3}$
$x = 2\frac{2}{3}$
Ответ: $2\frac{2}{3}$

8) $48 : (3\frac{4}{5}x - 25) = 1\frac{1}{2}$
Найдем неизвестный делитель.
$3\frac{4}{5}x - 25 = 48 : 1\frac{1}{2}$
Преобразуем $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь $\frac{3}{2}$.
$3\frac{4}{5}x - 25 = 48 : \frac{3}{2} = 48 \cdot \frac{2}{3} = 16 \cdot 2 = 32$
$3\frac{4}{5}x - 25 = 32$
$3\frac{4}{5}x = 32 + 25$
$3\frac{4}{5}x = 57$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{4}{5} = \frac{19}{5}$.
$\frac{19}{5}x = 57$
$x = 57 : \frac{19}{5} = 57 \cdot \frac{5}{19}$
$x = 3 \cdot 5 = 15$
Ответ: $15$