Номер 464, страница 90 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Деление дробей. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 464, страница 90.

Условие.

464. Решите уравнение:

1) $2\frac{2}{11}x - \frac{5}{16} = 1\frac{3}{4};$

2) $4\frac{2}{9}x + 3\frac{5}{14} = 6\frac{11}{21};$

3) $\frac{11}{18} - \frac{14}{27}x = \frac{5}{12};$

4) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{5}x = 1\frac{19}{75};$

5) $4\frac{1}{2} : x + 1\frac{3}{4} = 3\frac{19}{28};$

6) $3\frac{2}{3} : \left(x - 2\frac{4}{15}\right) = 3\frac{5}{13}.$

Решение.

Решение 2.

1) $2\frac{2}{11}x - \frac{5}{16} = 1\frac{3}{4}$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{2}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{24}{11}$

$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$

Теперь подставим их в уравнение:

$\frac{24}{11}x - \frac{5}{16} = \frac{7}{4}$

Перенесем $\frac{5}{16}$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$\frac{24}{11}x = \frac{7}{4} + \frac{5}{16}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю (16):

$\frac{24}{11}x = \frac{7 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{5}{16} = \frac{28}{16} + \frac{5}{16} = \frac{33}{16}$

Теперь найдем $x$, разделив правую часть на коэффициент при $x$:

$x = \frac{33}{16} : \frac{24}{11} = \frac{33}{16} \cdot \frac{11}{24}$

Сократим дроби перед умножением (33 и 24 на 3):

$x = \frac{11}{16} \cdot \frac{11}{8} = \frac{11 \cdot 11}{16 \cdot 8} = \frac{121}{128}$

Ответ: $x = \frac{121}{128}$

2) $4\frac{2}{9}x + 3\frac{5}{14} = 6\frac{11}{21}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{2}{9} = \frac{38}{9}$; $3\frac{5}{14} = \frac{47}{14}$; $6\frac{11}{21} = \frac{137}{21}$

Подставим в уравнение:

$\frac{38}{9}x + \frac{47}{14} = \frac{137}{21}$

Перенесем $\frac{47}{14}$ в правую часть:

$\frac{38}{9}x = \frac{137}{21} - \frac{47}{14}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю, который равен 42 (НОК(21, 14)=42):

$\frac{38}{9}x = \frac{137 \cdot 2}{21 \cdot 2} - \frac{47 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{274}{42} - \frac{141}{42} = \frac{133}{42}$

Сократим дробь $\frac{133}{42}$ на 7: $\frac{133 \div 7}{42 \div 7} = \frac{19}{6}$

$\frac{38}{9}x = \frac{19}{6}$

Найдем $x$:

$x = \frac{19}{6} : \frac{38}{9} = \frac{19}{6} \cdot \frac{9}{38}$

Сократим дроби (19 и 38 на 19; 6 и 9 на 3):

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

Ответ: $x = \frac{3}{4}$

3) $\frac{11}{18} - \frac{14}{27}x = \frac{5}{12}$

Перенесем $\frac{11}{18}$ в правую часть:

$-\frac{14}{27}x = \frac{5}{12} - \frac{11}{18}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю, равному 36 (НОК(12, 18)=36):

$-\frac{14}{27}x = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} - \frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{15}{36} - \frac{22}{36} = -\frac{7}{36}$

Теперь у нас есть уравнение $\frac{14}{27}x = \frac{7}{36}$ (умножили обе части на -1).

Найдем $x$:

$x = \frac{7}{36} : \frac{14}{27} = \frac{7}{36} \cdot \frac{27}{14}$

Сократим дроби (7 и 14 на 7; 36 и 27 на 9):

$x = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{8}$

Ответ: $x = \frac{3}{8}$

4) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{5}x = 1\frac{19}{75}$

Вынесем $x$ за скобки в левой части:

$x \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right) = 1\frac{19}{75}$

Сложим дроби в скобках, приведя их к общему знаменателю, равному 60 (НОК(3,4,5)=60):

$\frac{20}{60} + \frac{15}{60} + \frac{12}{60} = \frac{47}{60}$

Преобразуем смешанное число в правой части в неправильную дробь:

$1\frac{19}{75} = \frac{75+19}{75} = \frac{94}{75}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{47}{60}x = \frac{94}{75}$

Найдем $x$:

$x = \frac{94}{75} : \frac{47}{60} = \frac{94}{75} \cdot \frac{60}{47}$

Сократим дроби (94 и 47 на 47; 75 и 60 на 15):

$x = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{1} = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$

Ответ: $x = 1\frac{3}{5}$

5) $4\frac{1}{2} : x + 1\frac{3}{4} = 3\frac{19}{28}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$; $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$; $3\frac{19}{28} = \frac{3 \cdot 28 + 19}{28} = \frac{84+19}{28} = \frac{103}{28}$

Подставим в уравнение:

$\frac{9}{2} : x + \frac{7}{4} = \frac{103}{28}$

Найдем неизвестное слагаемое:

$\frac{9}{2} : x = \frac{103}{28} - \frac{7}{4}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 28:

$\frac{9}{2} : x = \frac{103}{28} - \frac{7 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{103}{28} - \frac{49}{28} = \frac{54}{28}$

Сократим дробь $\frac{54}{28}$ на 2: $\frac{27}{14}$

$\frac{9}{2} : x = \frac{27}{14}$

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное:

$x = \frac{9}{2} : \frac{27}{14} = \frac{9}{2} \cdot \frac{14}{27}$

Сократим дроби (9 и 27 на 9; 2 и 14 на 2):

$x = \frac{1}{1} \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

Ответ: $x = 2\frac{1}{3}$

6) $3\frac{2}{3} : \left( x - 2\frac{4}{15} \right) = 3\frac{5}{13}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$; $2\frac{4}{15} = \frac{34}{15}$; $3\frac{5}{13} = \frac{44}{13}$

Подставим в уравнение:

$\frac{11}{3} : \left( x - \frac{34}{15} \right) = \frac{44}{13}$

Найдем неизвестный делитель (выражение в скобках):

$x - \frac{34}{15} = \frac{11}{3} : \frac{44}{13} = \frac{11}{3} \cdot \frac{13}{44}$

Сократим дробь (11 и 44 на 11):

$x - \frac{34}{15} = \frac{1}{3} \cdot \frac{13}{4} = \frac{13}{12}$

Теперь найдем неизвестное уменьшаемое:

$x = \frac{13}{12} + \frac{34}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю, равному 60 (НОК(12,15)=60):

$x = \frac{13 \cdot 5}{12 \cdot 5} + \frac{34 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{65}{60} + \frac{136}{60} = \frac{201}{60}$

Сократим дробь на 3:

$x = \frac{201 \div 3}{60 \div 3} = \frac{67}{20}$

Преобразуем в смешанное число:

$x = 3\frac{7}{20}$

Ответ: $x = 3\frac{7}{20}$