Номер 540, страница 102 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Преобразование обыкновенной дроби в десятичную. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 540, страница 102.

Условие.

540. Какие из данных обыкновенных дробей можно преобразовать в десятичные:

1) $ \frac{4}{5} $;

2) $ \frac{2}{3} $;

3) $ \frac{7}{8} $;

4) $ \frac{13}{400} $;

5) $ \frac{9}{125} $;

6) $ \frac{18}{150} $?

Решение.

Решение 2.

Обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную дробь тогда и только тогда, когда знаменатель её несократимой формы не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5. Проверим каждую из данных дробей.

1) Дробь $\frac{4}{5}$.
Эта дробь несократима. Знаменатель равен 5. Простое разложение знаменателя состоит только из множителя 5. Следовательно, эту дробь можно преобразовать в конечную десятичную.
$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 2}{5 \times 2} = \frac{8}{10} = 0,8$.
Ответ: можно.

2) Дробь $\frac{2}{3}$.
Эта дробь несократима. Знаменатель равен 3. В простом разложении знаменателя есть множитель 3, который не является ни 2, ни 5. Следовательно, эту дробь нельзя преобразовать в конечную десятичную дробь (она обращается в бесконечную периодическую дробь).
$\frac{2}{3} = 0,666... = 0,(6)$.
Ответ: нельзя.

3) Дробь $\frac{7}{8}$.
Эта дробь несократима. Знаменатель равен 8. Разложим знаменатель на простые множители: $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$. Разложение состоит только из множителя 2. Следовательно, эту дробь можно преобразовать в десятичную.
$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 125}{8 \times 125} = \frac{875}{1000} = 0,875$.
Ответ: можно.

4) Дробь $\frac{13}{400}$.
Эта дробь несократима, так как 13 — простое число, а 400 на 13 не делится. Знаменатель равен 400. Разложим знаменатель на простые множители: $400 = 4 \times 100 = 2^2 \times 10^2 = 2^2 \times (2 \times 5)^2 = 2^4 \times 5^2$. Разложение состоит только из множителей 2 и 5. Следовательно, эту дробь можно преобразовать в десятичную.
$\frac{13}{400} = \frac{13 \times 25}{400 \times 25} = \frac{325}{10000} = 0,0325$.
Ответ: можно.

5) Дробь $\frac{9}{125}$.
Эта дробь несократима. Знаменатель равен 125. Разложим знаменатель на простые множители: $125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3$. Разложение состоит только из множителя 5. Следовательно, эту дробь можно преобразовать в десятичную.
$\frac{9}{125} = \frac{9 \times 8}{125 \times 8} = \frac{72}{1000} = 0,072$.
Ответ: можно.

6) Дробь $\frac{18}{150}$.
Сначала сократим дробь. Наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 6.
$\frac{18}{150} = \frac{18 \div 6}{150 \div 6} = \frac{3}{25}$.
Получили несократимую дробь $\frac{3}{25}$. Знаменатель равен 25. Разложим знаменатель на простые множители: $25 = 5 \times 5 = 5^2$. Разложение состоит только из множителя 5. Следовательно, эту дробь можно преобразовать в десятичную.
$\frac{3}{25} = \frac{3 \times 4}{25 \times 4} = \frac{12}{100} = 0,12$.
Ответ: можно.