Номер 1, страница 102 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 16. Преобразование обыкновенной дроби в десятичную. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 1, страница 102.

Условие.

1. В каком случае несократимую дробь можно преобразовать в десятичную?

Решение.

Решение 2.

1.

Несократимую обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную дробь в том случае, если разложение её знаменателя на простые множители не содержит никаких других чисел, кроме 2 и 5.

Пояснение:

Десятичная дробь — это частный случай обыкновенной дроби, у которой знаменатель является степенью числа 10 (например, $10^1=10$, $10^2=100$, $10^3=1000$ и т.д.). Число 10 можно разложить на простые множители как $10 = 2 \times 5$. Соответственно, любая степень числа 10 будет состоять только из множителей 2 и 5: $10^n = (2 \times 5)^n = 2^n \times 5^n$.

Чтобы преобразовать обыкновенную несократимую дробь $\frac{a}{b}$ в конечную десятичную, необходимо привести её к знаменателю, равному степени десяти. Этого можно достичь, умножив числитель и знаменатель на некоторый дополнительный множитель. Такое преобразование возможно только в том случае, если знаменатель исходной дроби $b$ уже состоит только из простых множителей 2 и 5. Если в знаменателе есть другие простые множители (например, 3, 7, 11 и т.д.), то домножением на целое число невозможно получить в знаменателе степень десяти. В этом случае дробь преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Примеры:

1. Дробь $\frac{7}{20}$.
Знаменатель $20 = 2^2 \times 5^1$. В разложении на простые множители содержатся только 2 и 5. Значит, дробь можно преобразовать в конечную десятичную.
$\frac{7}{20} = \frac{7 \times 5}{20 \times 5} = \frac{35}{100} = 0.35$

2. Дробь $\frac{4}{15}$.
Знаменатель $15 = 3 \times 5$. В разложении на простые множители присутствует число 3. Значит, дробь нельзя преобразовать в конечную десятичную.
$\frac{4}{15} = 0.2666... = 0.2(6)$

Ответ: Несократимую дробь можно преобразовать в конечную десятичную, если её знаменатель в разложении на простые множители содержит только множители 2 и 5.