Номер 541, страница 102 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Преобразование обыкновенной дроби в десятичную. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 541, страница 102.

Условие.

541. Какие из данных обыкновенных дробей можно преобразовать в десятичные:

1) $ \frac{11}{16} $;

2) $ \frac{17}{200} $;

3) $ \frac{5}{12} $;

4) $ \frac{14}{625} $;

5) $ \frac{23}{600} $;

6) $ \frac{84}{140} $?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы обыкновенную дробь можно было преобразовать в конечную десятичную, необходимо и достаточно, чтобы в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители не было чисел, отличных от 2 и 5. Проверим каждую дробь.

1) $\frac{11}{16}$

Дробь является несократимой. Разложим знаменатель 16 на простые множители: $16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$. В разложении знаменателя присутствует только простой множитель 2. Следовательно, эту дробь можно преобразовать в конечную десятичную.
Ответ: можно преобразовать.

2) $\frac{17}{200}$

Дробь является несократимой, так как 17 — простое число, а 200 на 17 не делится. Разложим знаменатель 200 на простые множители: $200 = 2 \times 100 = 2 \times 10^2 = 2 \times (2 \times 5)^2 = 2^3 \times 5^2$. В разложении знаменателя присутствуют только простые множители 2 и 5. Следовательно, эту дробь можно преобразовать в конечную десятичную.
Ответ: можно преобразовать.

3) $\frac{5}{12}$

Дробь является несократимой. Разложим знаменатель 12 на простые множители: $12 = 2 \times 6 = 2^2 \times 3$. В разложении знаменателя присутствует простой множитель 3, который отличен от 2 и 5. Следовательно, эту дробь нельзя преобразовать в конечную десятичную.
Ответ: нельзя преобразовать.

4) $\frac{14}{625}$

Проверим, является ли дробь сократимой. Числитель $14 = 2 \times 7$. Знаменатель $625 = 5^4$. Общих простых множителей у числителя и знаменателя нет, значит, дробь несократимая. В разложении знаменателя присутствует только простой множитель 5. Следовательно, эту дробь можно преобразовать в конечную десятичную.
Ответ: можно преобразовать.

5) $\frac{23}{600}$

Дробь является несократимой, так как 23 — простое число, а 600 на 23 не делится. Разложим знаменатель 600 на простые множители: $600 = 6 \times 100 = (2 \times 3) \times 10^2 = 2 \times 3 \times (2 \times 5)^2 = 2^3 \times 3 \times 5^2$. В разложении знаменателя присутствует простой множитель 3, который отличен от 2 и 5. Следовательно, эту дробь нельзя преобразовать в конечную десятичную.
Ответ: нельзя преобразовать.

6) $\frac{84}{140}$

Сначала сократим дробь. Наибольший общий делитель для 84 и 140 равен 28. $\frac{84}{140} = \frac{84 \div 28}{140 \div 28} = \frac{3}{5}$. Знаменатель полученной несократимой дроби равен 5. В его разложении на простые множители присутствует только множитель 5. Следовательно, эту дробь можно преобразовать в конечную десятичную.
Ответ: можно преобразовать.