Номер 536, страница 100 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Нахождение числа по заданному значению его дроби. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 536, страница 100.

Условие.

536. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы трёхзначное число $x8y$ делилось нацело на 9. Найдите все возможные решения.

Решение.

Решение 2.

Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Пусть искомое трехзначное число имеет вид $\overline{*8*}$, или в алгебраической записи $\overline{a8b}$, где $a$ – это первая цифра (сотни), а $b$ – последняя цифра (единицы). Так как число является трехзначным, первая цифра $a$ не может быть нулем. Таким образом, $a$ может принимать значения от 1 до 9, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Цифра $b$ может быть любой, от 0 до 9, то есть $b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Сумма цифр этого числа равна $S = a + 8 + b$. Для того чтобы число $\overline{a8b}$ делилось на 9, сумма его цифр $S$ должна быть кратна 9.

Определим возможный диапазон значений для суммы $S$.
Минимально возможная сумма $S_{min}$ достигается при минимальных значениях $a$ и $b$: $a_{min}=1$, $b_{min}=0$. Тогда $S_{min} = 1 + 8 + 0 = 9$.
Максимально возможная сумма $S_{max}$ достигается при максимальных значениях $a$ и $b$: $a_{max}=9$, $b_{max}=9$. Тогда $S_{max} = 9 + 8 + 9 = 26$.
Следовательно, сумма $S$ должна быть кратна 9 и лежать в пределах от 9 до 26 включительно. Такими значениями являются 9 и 18.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Сумма цифр равна 9.
$a + 8 + b = 9$
$a + b = 9 - 8$
$a + b = 1$
Учитывая, что $a \neq 0$, единственным решением этого уравнения в целых неотрицательных числах является пара $a=1$ и $b=0$. Это дает нам число 180. Проверим: $180 \div 9 = 20$.

Случай 2: Сумма цифр равна 18.
$a + 8 + b = 18$
$a + b = 18 - 8$
$a + b = 10$
Найдем все пары цифр $(a, b)$, удовлетворяющие этому условию ($a \in \{1..9\}, b \in \{0..9\}$):
- если $a=1$, то $b=9$. Получаем число 189.
- если $a=2$, то $b=8$. Получаем число 288.
- если $a=3$, то $b=7$. Получаем число 387.
- если $a=4$, то $b=6$. Получаем число 486.
- если $a=5$, то $b=5$. Получаем число 585.
- если $a=6$, то $b=4$. Получаем число 684.
- если $a=7$, то $b=3$. Получаем число 783.
- если $a=8$, то $b=2$. Получаем число 882.
- если $a=9$, то $b=1$. Получаем число 981.

Собрав все найденные в обоих случаях числа, мы получаем полный список решений.

Ответ: 180, 189, 288, 387, 486, 585, 684, 783, 882, 981.