Номер 549, страница 103 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Преобразование обыкновенной дроби в десятичную. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 549, страница 103.

Условие.

549. Каждая грань куба окрашена в белый или чёрный цвет. Докажите, что найдутся две грани с общим ребром, окрашенные в один цвет.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства этого утверждения можно использовать метод от противного или принцип Дирихле. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Доказательство от противного

Предположим, что утверждение неверно. То есть, можно так раскрасить грани куба в белый и чёрный цвета, что никакие две грани, имеющие общее ребро, не будут окрашены в один цвет. Это означает, что любые две соседние грани всегда имеют разный цвет.

1. Выберем произвольную грань, например, верхнюю. Пусть она окрашена в белый цвет.

2. У верхней грани есть четыре соседние грани (боковые). Каждая из этих боковых граней имеет общее ребро с верхней гранью. Согласно нашему предположению, все четыре боковые грани должны быть окрашены в цвет, отличный от белого. Следовательно, все они должны быть чёрными.

3. Теперь рассмотрим любые две из этих четырёх боковых граней, которые сами являются соседними (например, переднюю и правую). Они тоже имеют общее ребро. Но мы уже установили, что и передняя, и правая грани окрашены в чёрный цвет.

4. Таким образом, мы нашли две соседние грани, окрашенные в один и тот же цвет (чёрный). Это напрямую противоречит нашему первоначальному предположению.

Следовательно, наше предположение было ложным, а исходное утверждение — истинным. Всегда найдутся две грани с общим ребром, окрашенные в один цвет.

Способ 2: Использование принципа Дирихле

1. Рассмотрим любую вершину куба. В каждой вершине сходятся ровно три грани.

2. Любые две из этих трёх граней имеют общее ребро (которое также выходит из этой вершины), а значит, являются соседними.

3. У нас есть 3 грани, сходящиеся в одной вершине ("голуби"), и всего 2 возможных цвета для их окраски — белый и чёрный ("клетки").

4. Согласно принципу Дирихле, если число "голубей" больше числа "клеток" ( $3 > 2$ ), то как минимум в одной "клетке" окажется более одного "голубя". В нашем случае это означает, что как минимум две из трёх граней будут окрашены в один и тот же цвет.

5. Так как эти две грани, сходящиеся в одной вершине, являются соседними (имеют общее ребро), то мы доказали, что найдутся две грани с общим ребром, окрашенные в один цвет.

Ответ: Оба метода доказывают, что при раскраске граней куба в два цвета обязательно найдутся две соседние грани (имеющие общее ребро) одного цвета. Что и требовалось доказать.