Номер 551, страница 105 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Бесконечные периодические десятичные дроби. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 551, страница 105.

Условие.

551. Запишите в виде бесконечной периодической десятичной дроби частное:

1) $1 \div 9;$

2) $4 \div 11;$

3) $47 \div 12;$

4) $12,4 \div 27.$

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы записать частное $1:9$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, необходимо выполнить деление числа $1$ на $9$. Удобнее всего это сделать "в столбик".
Так как $1$ меньше $9$, целая часть частного будет равна $0$.
$10 \div 9 = 1$ с остатком $1$.
Снова делим $10$ на $9$, получаем $1$ и остаток $1$.
Этот процесс будет продолжаться бесконечно, и каждый раз в частном мы будем получать цифру $1$. Такая дробь называется чистой периодической.
Таким образом, $1 : 9 = \frac{1}{9} = 0,111... = 0,(1)$.
Ответ: $0,(1)$

2) Чтобы записать частное $4:11$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, разделим $4$ на $11$ "в столбик".
Целая часть частного равна $0$.
$40 \div 11 = 3$ с остатком $7$.
$70 \div 11 = 6$ с остатком $4$.
Остаток $4$ совпал с первоначальным делимым (после добавления нуля), значит, последовательность цифр в частном начнет повторяться. Периодом является группа цифр $36$.
Таким образом, $4 : 11 = \frac{4}{11} = 0,363636... = 0,(36)$.
Ответ: $0,(36)$

3) Чтобы записать частное $47:12$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, разделим $47$ на $12$ "в столбик".
$47 \div 12 = 3$ с остатком $11$. Целая часть равна $3$.
$110 \div 12 = 9$ с остатком $2$.
$20 \div 12 = 1$ с остатком $8$.
$80 \div 12 = 6$ с остатком $8$.
Так как остаток $8$ начал повторяться, цифра $6$ в частном будет повторяться бесконечно. Цифры $9$ и $1$, стоящие после запятой до периода, образуют предпериод. Такая дробь называется смешанной периодической.
Таким образом, $47 : 12 = \frac{47}{12} = 3,91666... = 3,91(6)$.
Ответ: $3,91(6)$

4) Чтобы записать частное $12,4:27$ в виде бесконечной периодической десятичной дроби, преобразуем его в частное целых чисел. Для этого умножим делимое и делитель на $10$, чтобы избавиться от запятой в делимом.
$12,4 : 27 = 124 : 270$.
Это частное можно представить в виде дроби $\frac{124}{270}$, которую можно сократить на $2$:
$\frac{124}{270} = \frac{62}{135}$.
Теперь выполним деление $62$ на $135$ "в столбик".
Целая часть частного равна $0$.
$620 \div 135 = 4$ с остатком $80$.
$800 \div 135 = 5$ с остатком $125$.
$1250 \div 135 = 9$ с остатком $35$.
$350 \div 135 = 2$ с остатком $80$.
Мы снова получили остаток $80$. Это означает, что последовательность цифр частного, полученная при делении чисел от $800$ до $350$, начнет повторяться. Периодом является группа цифр $592$. Цифра $4$ является предпериодом.
Таким образом, $12,4 : 27 = \frac{62}{135} = 0,4592592... = 0,4(592)$.
Ответ: $0,4(592)$