Номер 632, страница 127 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Пропорции. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 632, страница 127.

Условие.

632. На столе лежат четыре чёрные палочки разной длины, причём сумма их длин равна 40 см, и пять белых палочек, сумма длин которых также равна 40 см. Можно ли разрезать те и другие палочки так, чтобы потом расположить их парами, в каждой из которых длины палочек будут одинаковыми, а цвета разными?

Решение.

Решение 2.

Да, это возможно.

Рассмотрим общий метод, который позволяет это сделать. Для этого представим все черные палочки выложенными в один ряд вплотную друг к другу. Получится одна длинная составная черная полоса длиной 40 см. Аналогично поступим с белыми палочками — получим составную белую полосу такой же длины, 40 см.

Пусть длины черных палочек равны $b_1, b_2, b_3, b_4$, а длины белых — $w_1, w_2, w_3, w_4, w_5$.

$\sum_{i=1}^{4} b_i = 40$ см.

$\sum_{j=1}^{5} w_j = 40$ см.

На составной черной полосе отметим точки, где соединяются исходные палочки. Эти отметки будут на расстояниях $b_1$, $b_1+b_2$, $b_1+b_2+b_3$ от начала полосы. Назовем их "черными" отметками.

На составной белой полосе также отметим точки соединений. Они будут на расстояниях $w_1$, $w_1+w_2$, $w_1+w_2+w_3$, $w_1+w_2+w_3+w_4$ от начала. Назовем их "белыми" отметками.

Теперь возьмем все "черные" и все "белые" отметки и нанесем их на обе составные полосы (и на черную, и на белую). После этого разрежем обе 40-сантиметровые полосы по всем этим отметкам.

Поскольку мы разрезаем две полосы одинаковой длины (40 см) по одному и тому же набору точек, наборы полученных кусочков будут абсолютно идентичны по своим длинам. То есть, для каждого черного кусочка определенной длины найдется белый кусочек точно такой же длины.

Данная процедура разрезания составных полос соответствует разрезанию исходных палочек. Каждая новая отметка, нанесенная на составную полосу, попадает на одну из исходных палочек и указывает, в каком месте ее нужно разрезать.

Таким образом, после выполнения всех разрезов мы получим набор черных кусочков и набор белых кусочков, которые можно будет сгруппировать в пары, где в каждой паре будут палочки одинаковой длины, но разного цвета.

Ответ: да, можно.