Номер 625, страница 126 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Пропорции. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 625, страница 126.

Условие.

625. Докажите, что если$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то:

1) $ \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $;

2) $ \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d} $.

Решение.

Решение 2.

1)

Это свойство пропорции называется «производная пропорция, полученная вычитанием». Докажем его.

Начнем с данного нам равенства:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1$

Чтобы выполнить вычитание, приведем 1 к общему знаменателю для каждой части. В левой части общий знаменатель – $b$, в правой – $d$:

$\frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c}{d} - \frac{d}{d}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}$

Таким образом, мы доказали требуемое равенство.

Ответ: Доказано.

2)

Это свойство пропорции называется «производная пропорция, полученная сложением». Докажем его.

Начнем с исходного равенства:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Предположим, что $a \neq 0$ и $c \neq 0$. Если дроби равны, то равны и обратные им дроби:

$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$

Прибавим 1 к обеим частям этого равенства:

$\frac{b}{a} + 1 = \frac{d}{c} + 1$

Приведем к общему знаменателю в каждой части:

$\frac{b}{a} + \frac{a}{a} = \frac{d}{c} + \frac{c}{c}$

Выполним сложение:

$\frac{b + a}{a} = \frac{d + c}{c}$

Теперь снова «перевернем» дроби в обеих частях равенства:

$\frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d}$

Рассмотрим случай, когда $a = 0$. Из исходной пропорции $\frac{0}{b} = \frac{c}{d}$ следует, что $c = 0$ (при $b, d \neq 0$). Подставив $a=0$ и $c=0$ в доказываемое равенство, получим:

$\frac{0}{0 + b} = \frac{0}{0 + d}$, что равносильно $\frac{0}{b} = \frac{0}{d}$, или $0=0$.

Равенство верно и в этом случае. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Доказано.