Номер 624, страница 126 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Пропорции. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 624, страница 126.

Условие.

624. Нарушится ли пропорция, если:

1) оба члена одного из отношений разделить на 4;

2) оба крайних члена умножить на 10;

3) один из её крайних членов и один из средних членов умножить на 6?

Решение.

Решение 2.

1) оба члена одного из отношений разделить на 4;

Пусть дана пропорция $a:b = c:d$, что равносильно равенству в виде дробей $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Основное свойство пропорции заключается в том, что произведение её крайних членов равно произведению средних: $ad = bc$.

Разделим оба члена одного из отношений, например, первого ($a$ и $b$), на 4. Новые члены отношения будут $\frac{a}{4}$ и $\frac{b}{4}$. Новая пропорция, которую нужно проверить, примет вид $\frac{a}{4} : \frac{b}{4} = c : d$.

Запишем левую часть этого выражения в виде дроби и упростим: $\frac{a/4}{b/4} = \frac{a}{4} \cdot \frac{4}{b} = \frac{a}{b}$

В результате мы получаем исходное верное равенство $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Таким образом, пропорция не нарушается. Это происходит потому, что значение отношения (дроби) не меняется, если оба его члена (числитель и знаменатель) умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Ответ: пропорция не нарушится.

2) оба крайних члена умножить на 10;

Возьмём ту же пропорцию $a:b = c:d$, где $a$ и $d$ — крайние члены, а $b$ и $c$ — средние. Исходно выполняется равенство $ad = bc$.

Умножим оба крайних члена на 10. Новые крайние члены будут $a' = 10a$ и $d' = 10d$. Средние члены $b$ и $c$ остаются без изменений.

Теперь проверим, будет ли верным основное свойство для новых членов: $a'd' = bc$. Найдём произведение новых крайних членов: $a'd' = (10a) \cdot (10d) = 100ad$. Произведение средних членов не изменилось: $bc$.

Новое равенство должно иметь вид $100ad = bc$. Но мы знаем из исходной пропорции, что $ad = bc$. Подставив это в новое равенство, получим $100ad = ad$. Это равенство справедливо только при $ad = 0$, что неверно для произвольной пропорции (например, для $2:4 = 3:6$, где $ad=12$). Следовательно, пропорция нарушается.

Ответ: пропорция нарушится.

3) один из её крайних членов и один из средних членов умножить на 6?

Снова рассмотрим пропорцию $a:b = c:d$, или $ad = bc$. Крайними членами являются $a$ и $d$, а средними — $b$ и $c$. Нужно умножить один крайний и один средний член на 6. Существует четыре возможных варианта такого действия:

Вариант 1: Умножим крайний член $a$ и средний член $b$ на 6. Проверяем новую пропорцию $(6a):(6b) = c:d$. Запишем в виде дробей: $\frac{6a}{6b} = \frac{c}{d}$. Сократив дробь в левой части на 6, получим $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Это исходная верная пропорция. Равенство сохраняется.

Вариант 2: Умножим крайний член $a$ и средний член $c$ на 6. Проверяем новую пропорцию $(6a):b = (6c):d$. Используем основное свойство: $(6a) \cdot d = b \cdot (6c)$, что даёт $6ad = 6bc$. Так как изначально $ad = bc$, это равенство является верным. Равенство сохраняется.

Вариант 3: Умножим крайний член $d$ и средний член $b$ на 6. Проверяем новую пропорцию $a:(6b) = c:(6d)$. Используем основное свойство: $a \cdot (6d) = (6b) \cdot c$, что даёт $6ad = 6bc$. Так как изначально $ad = bc$, это равенство является верным. Равенство сохраняется.

Вариант 4: Умножим крайний член $d$ и средний член $c$ на 6. Проверяем новую пропорцию $a:b = (6c):(6d)$. Запишем в виде дробей: $\frac{a}{b} = \frac{6c}{6d}$. Сократив дробь в правой части на 6, получим $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Это исходная верная пропорция. Равенство сохраняется.

Во всех четырёх возможных случаях пропорциональное отношение сохраняется.

Ответ: пропорция не нарушится.