Номер 620, страница 125 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Пропорции. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 620, страница 125.

Условие.

620. Решите уравнение:

1) $7\frac{1}{2} : 4\frac{1}{2} = x : \frac{3}{25}$;

2) $\frac{24}{x+2} = \frac{1}{5}$;

3) $\frac{y-5}{6} = \frac{4}{3}$;

4) $\frac{2}{5} = \frac{6}{x+3}$;

5) $\frac{5}{6} = \frac{15}{2x-3}$;

6) $12 : \frac{4x}{5} = 20 : \frac{1}{4}$.

Решение.

Решение 2.

1) $7\frac{1}{2} : 4\frac{1}{2} = x : \frac{3}{25}$
Это пропорция. Согласно основному свойству пропорции, произведение средних членов равно произведению крайних членов.
$4\frac{1}{2} \cdot x = 7\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{25}$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$7\frac{1}{2} = \frac{7 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{15}{2}$
$4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$
Подставим полученные значения в уравнение:
$\frac{9}{2} \cdot x = \frac{15}{2} \cdot \frac{3}{25}$
Вычислим правую часть уравнения:
$\frac{15 \cdot 3}{2 \cdot 25} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 3}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{9}{10}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{9}{2}x = \frac{9}{10}$
Чтобы найти $x$, разделим обе части на $\frac{9}{2}$:
$x = \frac{9}{10} : \frac{9}{2} = \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$.

2) $\frac{24}{x+2} = \frac{1}{5}$
Используем правило перекрестного умножения для пропорций:
$24 \cdot 5 = 1 \cdot (x+2)$
$120 = x + 2$
Перенесем 2 в левую часть, изменив знак:
$x = 120 - 2$
$x = 118$
Проверим область допустимых значений: знаменатель не должен быть равен нулю, $x+2 \neq 0$, следовательно $x \neq -2$. Корень $x=118$ удовлетворяет этому условию.
Ответ: 118.

3) $\frac{y-5}{6} = \frac{4}{3}$
Применим правило перекрестного умножения:
$3 \cdot (y-5) = 6 \cdot 4$
$3y - 15 = 24$
Перенесем -15 в правую часть уравнения:
$3y = 24 + 15$
$3y = 39$
Разделим обе части на 3:
$y = \frac{39}{3}$
$y = 13$
Ответ: 13.

4) $\frac{2}{5} = \frac{6}{x+3}$
Воспользуемся правилом перекрестного умножения:
$2 \cdot (x+3) = 5 \cdot 6$
$2x + 6 = 30$
Перенесем 6 в правую часть:
$2x = 30 - 6$
$2x = 24$
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{24}{2}$
$x = 12$
Область допустимых значений: $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$. Корень $x=12$ является допустимым.
Ответ: 12.

5) $\frac{5}{6} = \frac{15}{2x-3}$
Применим правило перекрестного умножения:
$5 \cdot (2x-3) = 6 \cdot 15$
$10x - 15 = 90$
Перенесем -15 в правую часть:
$10x = 90 + 15$
$10x = 105$
Разделим обе части на 10:
$x = \frac{105}{10}$
$x = 10,5$
Область допустимых значений: $2x-3 \neq 0$, то есть $2x \neq 3$, $x \neq 1,5$. Корень $x=10,5$ является допустимым.
Ответ: 10,5.

6) $12 : \frac{4x}{5} = 20 : \frac{1}{4}$
Используем основное свойство пропорции: произведение средних членов равно произведению крайних членов.
$\frac{4x}{5} \cdot 20 = 12 \cdot \frac{1}{4}$
Упростим левую часть:
$\frac{4x \cdot 20}{5} = 4x \cdot 4 = 16x$
Упростим правую часть:
$12 \cdot \frac{1}{4} = \frac{12}{4} = 3$
Получаем уравнение:
$16x = 3$
Разделим обе части на 16:
$x = \frac{3}{16}$
Область допустимых значений: делитель не может быть равен нулю, $\frac{4x}{5} \neq 0$, следовательно $x \neq 0$. Корень $x=\frac{3}{16}$ удовлетворяет этому условию.
Ответ: $\frac{3}{16}$.