Номер 678, страница 141 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 678, страница 141.

Условие.

678. Есть четыре цветка: роза, гвоздика, гладиолус и тюльпан. Сколько есть способов составить букет из трёх цветков?

Решение.

Решение 2.

Для решения данной задачи необходимо определить, сколькими способами можно выбрать 3 цветка из 4 имеющихся. Поскольку порядок цветов в букете не имеет значения (букет из розы, гвоздики и тюльпана — это тот же самый букет, что и из гвоздики, тюльпана и розы), мы будем использовать формулу для числа сочетаний.

Способ 1: Прямой перебор вариантов
У нас есть четыре цветка: Роза (Р), Гвоздика (Гв), Гладиолус (Гл) и Тюльпан (Т). Составить букет из трех цветков — это то же самое, что выбрать один цветок, который не войдет в букет. Перечислим все возможные букеты:
1. Букет без Тюльпана: {Роза, Гвоздика, Гладиолус}.
2. Букет без Гладиолуса: {Роза, Гвоздика, Тюльпан}.
3. Букет без Гвоздики: {Роза, Гладиолус, Тюльпан}.
4. Букет без Розы: {Гвоздика, Гладиолус, Тюльпан}.
Таким образом, мы видим, что существует 4 различных способа составить букет.

Способ 2: Использование формулы сочетаний
Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ (то есть количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ без учета порядка) вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашей задаче общее количество цветков $n=4$, а количество цветков в букете $k=3$.
Подставим эти значения в формулу:
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!}$
Распишем факториалы и произведем вычисления:
$C_4^3 = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = \frac{24}{6} = 4$
Расчет по формуле подтверждает, что существует 4 способа.

Ответ: 4