Номер 953, страница 205 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 33. Сравнение чисел. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 953, страница 205.

Условие.

953. Является истинным или ложным высказывание:

1) если $|a| > |b|$, то $a > b$;

2) если $|a| > b$, то $a > b$;

3) если $|a| < b$, то $a < b$;

4) если $a < b$, то $|a| < b$?

Решение.

Решение 2.

1) если $|a| > |b|$, то $a > b$;

Данное высказывание является ложным. Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести один контрпример, то есть такой случай, когда условие выполняется, а заключение — нет.
Рассмотрим в качестве контрпримера значения $a = -5$ и $b = 3$.
Проверим выполнение условия $|a| > |b|$:
$|-5| > |3|$
$5 > 3$
Условие истинно.
Теперь проверим заключение $a > b$:
$-5 > 3$
Заключение ложно.
Поскольку мы нашли пример, где условие истинно, а заключение ложно, всё высказывание является ложным.
Ответ: ложно.

2) если $|a| > b$, то $a > b$;

Это высказывание также является ложным. Приведем контрпример.
Пусть $a = -4$ и $b = 2$.
Проверим условие $|a| > b$:
$|-4| > 2$
$4 > 2$
Условие истинно.
Проверим заключение $a > b$:
$-4 > 2$
Заключение ложно.
Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: ложно.

3) если $|a| < b$, то $a < b$;

Это высказывание является истинным.
Неравенство $|a| < b$ по определению модуля означает, что расстояние от точки $a$ до нуля на числовой прямой меньше, чем $b$. Это возможно только при условии, что $b$ является положительным числом ($b > 0$).
Неравенство $|a| < b$ равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.
Это двойное неравенство, в свою очередь, является краткой записью системы из двух неравенств:
$ \begin{cases} a < b \\ a > -b \end{cases} $
Как видим, заключение $a < b$ является неотъемлемой частью исходного условия $|a| < b$. Таким образом, если истинно условие, то истинно и заключение.
Ответ: истинно.

4) если $a < b$, то $|a| < |b|$?

Данное высказывание является ложным. Приведем контрпример.
Пусть $a = -10$ и $b = 3$.
Проверим условие $a < b$:
$-10 < 3$
Условие истинно.
Проверим заключение $|a| < |b|$:
$|-10| < |3|$
$10 < 3$
Заключение ложно.
Так как найден контрпример, высказывание является ложным.
Ответ: ложно.