Номер 954, страница 205 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 33. Сравнение чисел. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 954, страница 205.

Условие.

954. Сравните:

1) $a$ и $-a$;

2) $|a|$ и $a$;

3) $|a|$ и $-a$.

Решение.

Решение 2.

1) a и -a

Для сравнения чисел $a$ и $-a$ необходимо рассмотреть три возможных случая, в зависимости от знака переменной $a$.

• Если $a$ — положительное число ($a > 0$), то $-a$ — отрицательное. Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно, $a > -a$.
  Пример: если $a=5$, то $-a=-5$, и $5 > -5$.

• Если $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то $-a$ — положительное. Любое отрицательное число меньше любого положительного, следовательно, $a < -a$.
  Пример: если $a=-3$, то $-a=3$, и $-3 < 3$.

• Если $a = 0$, то и $-a = 0$. В этом случае они равны: $a = -a$.

Ответ: если $a > 0$, то $a > -a$; если $a < 0$, то $a < -a$; если $a = 0$, то $a = -a$.

2) |a| и a

Для сравнения $|a|$ и $a$ воспользуемся определением модуля числа. Модуль (абсолютная величина) числа — это неотрицательное число.

• Если $a$ — неотрицательное число ($a \ge 0$), то по определению модуля $|a| = a$.
  Пример: если $a=7$, то $|7|=7$; если $a=0$, то $|0|=0$.

• Если $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то по определению $|a| = -a$. Так как $a$ отрицательно, то $-a$ положительно. Следовательно, $|a| > a$, поскольку положительное число всегда больше отрицательного.
  Пример: если $a=-4$, то $|-4|=4$, и $4 > -4$.

Таким образом, модуль числа всегда больше или равен самому числу.

Ответ: $|a| \ge a$ при любом значении $a$. Равенство достигается при $a \ge 0$.

3) |a| и -a

Для сравнения $|a|$ и $-a$ также рассмотрим случаи в зависимости от знака $a$.

• Если $a$ — положительное число ($a > 0$), то $|a| = a$, а $-a$ — отрицательное число. Положительное число всегда больше отрицательного, поэтому $|a| > -a$.
  Пример: если $a=10$, то $|10|=10$, $-a=-10$, и $10 > -10$.

• Если $a$ — отрицательное число или ноль ($a \le 0$), то по определению модуля $|a| = -a$.
  Пример: если $a=-6$, то $|-6|=6$ и $-a = -(-6)=6$. В этом случае они равны. Если $a=0$, то $|0|=0$ и $-a=0$, они также равны.

Таким образом, модуль числа всегда больше или равен числу, противоположному ему.

Ответ: $|a| \ge -a$ при любом значении $a$. Равенство достигается при $a \le 0$.