Номер 961, страница 206 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 33. Сравнение чисел. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 961, страница 206.

Условие.

961. У нескольких брёвен длиной 4 м и 5 м общая длина равна 45 м. Какое наибольшее количество распилов необходимо сделать, чтобы распилить все брёвна на чурбаки длиной 1 м? (Каждым распилом разрезают только одно бревно.)

Решение.

Решение 2.

Пусть $x$ — количество брёвен длиной 4 м, а $y$ — количество брёвен длиной 5 м. Согласно условию, общая длина всех брёвен равна 45 м. Это можно записать в виде уравнения:$4x + 5y = 45$где $x$ и $y$ являются целыми неотрицательными числами.

Чтобы распилить бревно на чурбаки длиной 1 м, необходимо сделать на один распил меньше, чем его длина в метрах.Следовательно, для распила 4-метрового бревна требуется $4 - 1 = 3$ распила.Для распила 5-метрового бревна требуется $5 - 1 = 4$ распила.

Общее количество распилов, обозначим его $C$, будет равно сумме распилов для всех брёвен:$C = 3x + 4y$

Чтобы найти наибольшее возможное количество распилов, нам нужно найти все возможные комбинации брёвен (пары чисел $x$ и $y$), удовлетворяющие первому уравнению, и для каждой из них вычислить $C$, а затем выбрать максимальное значение.

Найдём решения уравнения $4x + 5y = 45$ в целых неотрицательных числах.Выразим $4x = 45 - 5y$. Правая часть уравнения, $5(9 - y)$, должна быть кратна 4 и быть неотрицательной. Переберём возможные значения $y$, начиная с 0, чтобы $9-y$ было кратно 4.

1. Пусть $9 - y = 0$, тогда $y = 9$. Подставим в уравнение: $4x + 5(9) = 45 \Rightarrow 4x = 0 \Rightarrow x = 0$.
Это первый возможный вариант: 0 брёвен по 4 м и 9 брёвен по 5 м.

2. Пусть $9 - y = 4$, тогда $y = 5$. Подставим в уравнение: $4x + 5(5) = 45 \Rightarrow 4x = 20 \Rightarrow x = 5$.
Это второй возможный вариант: 5 брёвен по 4 м и 5 брёвен по 5 м.

3. Пусть $9 - y = 8$, тогда $y = 1$. Подставим в уравнение: $4x + 5(1) = 45 \Rightarrow 4x = 40 \Rightarrow x = 10$.
Это третий возможный вариант: 10 брёвен по 4 м и 1 бревно по 5 м.

Следующее возможное значение для $9-y$, кратное 4, это 12, но тогда $y$ будет отрицательным, что невозможно. Таким образом, мы нашли все возможные комбинации брёвен.

Теперь вычислим общее количество распилов $C = 3x + 4y$ для каждого случая:

1. Для варианта $(x=0, y=9)$: $C = 3(0) + 4(9) = 0 + 36 = 36$ распилов.

2. Для варианта $(x=5, y=5)$: $C = 3(5) + 4(5) = 15 + 20 = 35$ распилов.

3. Для варианта $(x=10, y=1)$: $C = 3(10) + 4(1) = 30 + 4 = 34$ распила.

Сравнивая полученные значения (36, 35 и 34), мы видим, что наибольшее количество распилов равно 36.

Ответ: 36.