Номер 465, страница 93 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Рациональные числа. 3.2. Рациональные числа - номер 465, страница 93.

Условие.

465. Сократите дробь, запишите результат в виде дроби с положительным знаменателем:

а) $- \frac{8}{-12}$;

б) $- \frac{35}{21}$;

в) $\frac{36}{-45}$;

г) $\frac{45}{-63}$;

д) $\frac{35}{77}$;

е) $- \frac{96}{-128}$;

ж) $- \frac{124}{-196}$;

з) $\frac{252}{-444}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{-8}{-12}$ и записать результат с положительным знаменателем, сначала определим знак дроби. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительный результат.
$\frac{-8}{-12} = \frac{8}{12}$
Теперь найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя 8 и знаменателя 12.
Разложим числа на простые множители:
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
НОД(8, 12) = $2^2 = 4$.
Разделим числитель и знаменатель на НОД:
$\frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{-35}{21}$. Числитель отрицательный, а знаменатель положительный, значит, вся дробь отрицательна. Знаменатель уже положительный.
$\frac{-35}{21} = -\frac{35}{21}$
Найдем НОД для 35 и 21.
$35 = 5 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
НОД(35, 21) = 7.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:
$-\frac{35 \div 7}{21 \div 7} = -\frac{5}{3}$
Ответ: $-\frac{5}{3}$

в) В дроби $\frac{36}{-45}$ числитель положительный, а знаменатель отрицательный. Чтобы знаменатель стал положительным, вынесем знак "минус" перед дробью.
$\frac{36}{-45} = -\frac{36}{45}$
Найдем НОД для 36 и 45.
$36 = 2^2 \cdot 3^2$
$45 = 3^2 \cdot 5$
НОД(36, 45) = $3^2 = 9$.
Сократим дробь на 9:
$-\frac{36 \div 9}{45 \div 9} = -\frac{4}{5}$
Ответ: $-\frac{4}{5}$

г) Дробь $\frac{45}{-63}$ имеет отрицательный знаменатель. Сделаем его положительным, вынеся знак "минус" перед дробью.
$\frac{45}{-63} = -\frac{45}{63}$
Найдем НОД для 45 и 63.
$45 = 3^2 \cdot 5$
$63 = 3^2 \cdot 7$
НОД(45, 63) = $3^2 = 9$.
Сократим дробь на 9:
$-\frac{45 \div 9}{63 \div 9} = -\frac{5}{7}$
Ответ: $-\frac{5}{7}$

д) Дробь $\frac{35}{77}$. Числитель и знаменатель положительны. Нужно только сократить дробь.
Найдем НОД для 35 и 77.
$35 = 5 \cdot 7$
$77 = 7 \cdot 11$
НОД(35, 77) = 7.
Сократим дробь на 7:
$\frac{35 \div 7}{77 \div 7} = \frac{5}{11}$
Ответ: $\frac{5}{11}$

е) В дроби $\frac{-96}{-128}$ и числитель, и знаменатель отрицательные, поэтому дробь положительна.
$\frac{-96}{-128} = \frac{96}{128}$
Найдем НОД для 96 и 128.
$96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$
$128 = 2^7$
НОД(96, 128) = $2^5 = 32$.
Сократим дробь на 32:
$\frac{96 \div 32}{128 \div 32} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

ж) В дроби $\frac{-124}{-196}$ числитель и знаменатель отрицательные, значит, дробь положительна.
$\frac{-124}{-196} = \frac{124}{196}$
Найдем НОД для 124 и 196. Оба числа четные, делятся на 4.
$124 = 4 \cdot 31$
$196 = 4 \cdot 49 = 4 \cdot 7^2$
Число 31 простое. НОД(124, 196) = 4.
Сократим дробь на 4:
$\frac{124 \div 4}{196 \div 4} = \frac{31}{49}$
Ответ: $\frac{31}{49}$

з) Дробь $\frac{252}{-444}$ имеет отрицательный знаменатель. Сделаем его положительным, вынеся знак "минус" перед дробью.
$\frac{252}{-444} = -\frac{252}{444}$
Найдем НОД для 252 и 444. Оба числа делятся на 4 (так как числа, образованные двумя последними цифрами, делятся на 4). Сумма цифр каждого числа делится на 3 ($2+5+2=9$, $4+4+4=12$), значит, оба числа делятся на 3. Следовательно, они делятся на $3 \cdot 4 = 12$.
$252 \div 12 = 21$
$444 \div 12 = 37$
Число 37 простое. Значит, НОД(252, 444) = 12.
Сократим дробь на 12:
$-\frac{252 \div 12}{444 \div 12} = -\frac{21}{37}$
Ответ: $-\frac{21}{37}$