Номер 294, страница 72, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 1. Числа и действия с ними. 3. Среднее арифметическое - номер 294, страница 72.

Условие 2023.

294. Может ли число $a^2 + b^2 + c^2$ делиться на 5, если ни одно из натуральных чисел $a$, $b$ и $c$ не делится на 5?

Решение 2 (2023).

Для того чтобы определить, может ли число $a^2 + b^2 + c^2$ делиться на 5, рассмотрим, какие остатки могут давать числа $a, b, c$ и их квадраты при делении на 5.

По условию, ни одно из натуральных чисел $a, b$ и $c$ не делится на 5. Это означает, что при делении на 5 они могут давать в остатке 1, 2, 3 или 4. Остаток 0 исключен.

Теперь найдем, какие остатки при делении на 5 могут давать их квадраты ($a^2, b^2, c^2$):

• Если число при делении на 5 дает остаток 1, то его квадрат ($1^2=1$) дает остаток 1.
• Если число при делении на 5 дает остаток 2, то его квадрат ($2^2=4$) дает остаток 4.
• Если число при делении на 5 дает остаток 3, то его квадрат ($3^2=9$) при делении на 5 дает остаток 4.
• Если число при делении на 5 дает остаток 4, то его квадрат ($4^2=16$) при делении на 5 дает остаток 1.

Таким образом, квадрат любого натурального числа, не кратного 5, при делении на 5 дает в остатке либо 1, либо 4.

Следовательно, каждое из чисел $a^2, b^2, c^2$ при делении на 5 дает в остатке 1 или 4. Рассмотрим все возможные комбинации остатков для их суммы $a^2 + b^2 + c^2$:

1. Все три слагаемых дают остаток 1. Тогда остаток суммы: $1 + 1 + 1 = 3$.
2. Два слагаемых дают остаток 1, а одно — 4. Тогда остаток суммы: $1 + 1 + 4 = 6$. При делении 6 на 5 получаем остаток 1.
3. Одно слагаемое дает остаток 1, а два — 4. Тогда остаток суммы: $1 + 4 + 4 = 9$. При делении 9 на 5 получаем остаток 4.
4. Все три слагаемых дают остаток 4. Тогда остаток суммы: $4 + 4 + 4 = 12$. При делении 12 на 5 получаем остаток 2.

Как видно из всех возможных случаев, остаток от деления суммы $a^2 + b^2 + c^2$ на 5 может быть равен 1, 2, 3 или 4, но никогда не равен 0. Число делится на 5 только в том случае, если его остаток от деления на 5 равен 0. Следовательно, данная сумма не может делиться на 5.

Ответ: нет, не может.

Условие 2010-2022.

294 Может ли число $a^2 + b^2 + c^2$ делиться на 5, если ни одно из натуральных чисел $a$, $b$ и $c$ не делится на 5?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).