Номер 295, страница 72, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 1. Числа и действия с ними. 3. Среднее арифметическое - номер 295, страница 72.

Условие 2023.

295 Некоторые числа можно связать с геометрическими фигурами. Рассмотри рисунки и продолжи последовательность треугольных и квадратных чисел. Найди сотые члены последовательностей этих чисел.

a) Треугольные числа: 1, 3, 6, 10, ...

$1$

$1 + 2$

$1 + 2 + 3$

$1 + 2 + 3 + 4$

б) Квадратные числа: 1, 4, 9, 16, ...

$1$

$1 + 3$

$1 + 3 + 5$

$1 + 3 + 5 + 7$

*

Решение 2 (2023).

а) Треугольные числа: Последовательность треугольных чисел задается как 1, 3, 6, 10, ... Из рисунка видно, что каждое следующее число получается добавлением натурального числа, на единицу большего, чем на предыдущем шаге. Таким образом, n-е треугольное число $T_n$ равно сумме первых n натуральных чисел.

• $T_1 = 1$
• $T_2 = 1 + 2 = 3$
• $T_3 = 1 + 2 + 3 = 6$
• $T_4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$

Общая формула для n-го треугольного числа выводится из формулы суммы арифметической прогрессии: $T_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ Продолжим последовательность: $T_5 = 10 + 5 = 15$ $T_6 = 15 + 6 = 21$ $T_7 = 21 + 7 = 28$ Таким образом, продолжение последовательности: 15, 21, 28, ... Чтобы найти сотый член последовательности, подставим $n=100$ в формулу: $T_{100} = \frac{100(100+1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$
Ответ: продолжение последовательности — 15, 21, 28, ...; сотый член равен 5050.

б) Квадратные числа: Последовательность квадратных чисел задается как 1, 4, 9, 16, ... Из рисунка видно, что n-е квадратное число $S_n$ — это квадрат натурального числа n. Также его можно представить как сумму первых n нечетных чисел.

• $S_1 = 1 = 1^2$
• $S_2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$
• $S_3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 3^2$
• $S_4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2$

Общая формула для n-го квадратного числа: $S_n = n^2$ Продолжим последовательность: $S_5 = 5^2 = 25$ $S_6 = 6^2 = 36$ $S_7 = 7^2 = 49$ Таким образом, продолжение последовательности: 25, 36, 49, ... Чтобы найти сотый член последовательности, подставим $n=100$ в формулу: $S_{100} = 100^2 = 10000$
Ответ: продолжение последовательности — 25, 36, 49, ...; сотый член равен 10000.

Условие 2010-2022.

295 Некоторые числа можно связать с геометрическими фигурами. Рассмотрим рисунки и продолжи последовательности треугольных и квадратных чисел. Найди сотые члены последовательностей этих чисел.

а) Треугольные числа: 1, 3, 6, 10, ...

$1$

$1 + 2$

$1 + 2 + 3$

$1 + 2 + 3 + 4$

б) Квадратные числа: 1, 4, 9, 16, ...

$1$

$1 + 3$

$1 + 3 + 5$

$1 + 3 + 5 + 7$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).