Номер 296, страница 72, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Среднее арифметическое. Параграф 1. Числа и действия с ними. Глава 2. Арифметика. Часть 1 - номер 296, страница 72.

Условие 2023.

296 1) Из Иванова в Москву за учебниками математики отправился микроавтобус, который прошёл весь путь со средней скоростью 50 км/ч. На обратном пути его средняя скорость составила только 40 км/ч. Чему равна средняя скорость микроавтобуса на полном маршруте Иваново – Москва – Иваново? Сравни её со средним арифметическим скоростей по дороге «туда» и «обратно». (Указание: расстояние между Москвой и Ивановом обозначь $s$.)

2) Реши эту же задачу для «буквенных» скоростей $v_1$ и $v_2$. Полученное выражение называют средним гармоническим чисел $v_1$ и $v_2$. Придумай определение среднего гармонического трёх, четырёх и вообще любого количества чисел.

3) В этой задаче среднее гармоническое чисел 50 и 40 оказалось меньше их среднего арифметического. Будет ли такое неравенство верно и для других чисел? Проведи несколько экспериментов. Можно ли на их основании сделать общий вывод? Почему?

Решение 2 (2023).

1)

Средняя скорость вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё затраченное время.

Пусть расстояние от Иванова до Москвы равно $s$ км. Тогда весь путь микроавтобуса (туда и обратно) составляет $S_{общ} = s + s = 2s$ км.

Время, затраченное на дорогу из Иванова в Москву, равно $t_1 = \frac{s}{v_1} = \frac{s}{50}$ ч. Время, затраченное на обратную дорогу, равно $t_2 = \frac{s}{v_2} = \frac{s}{40}$ ч.

Общее время в пути: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{s}{50} + \frac{s}{40}$. Приведем дроби к общему знаменателю 200: $t_{общ} = \frac{4s}{200} + \frac{5s}{200} = \frac{9s}{200}$ ч.

Теперь можем найти среднюю скорость на всём маршруте: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2s}{\frac{9s}{200}} = \frac{2s \cdot 200}{9s} = \frac{400}{9}$ км/ч. В виде смешанной дроби это $44\frac{4}{9}$ км/ч, что приблизительно равно 44,44 км/ч.

Сравним полученное значение со средним арифметическим скоростей: Среднее арифметическое скоростей равно $\frac{50 + 40}{2} = \frac{90}{2} = 45$ км/ч.

Сравнивая $44\frac{4}{9}$ км/ч и 45 км/ч, видим, что средняя скорость на всём маршруте меньше, чем среднее арифметическое скоростей.

Ответ: Средняя скорость микроавтобуса на полном маршруте равна $44\frac{4}{9}$ км/ч. Это значение меньше среднего арифметического скоростей (45 км/ч).

2)

Решим задачу в общем виде для скоростей $v_1$ и $v_2$. Весь пройденный путь: $S_{общ} = 2s$. Общее время в пути: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2}$. Приведем к общему знаменателю: $t_{общ} = \frac{s \cdot v_2 + s \cdot v_1}{v_1v_2} = \frac{s(v_1 + v_2)}{v_1v_2}$.

Средняя скорость: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2s}{\frac{s(v_1 + v_2)}{v_1v_2}} = \frac{2s \cdot v_1v_2}{s(v_1 + v_2)} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$. Это выражение и называется средним гармоническим чисел $v_1$ и $v_2$.

Определение среднего гармонического можно обобщить на любое количество чисел. Идея состоит в том, чтобы разделить количество чисел на сумму их обратных величин.

• Среднее гармоническое трёх чисел ($x_1, x_2, x_3$): это число, равное трём, делённое на сумму обратных чисел. $H_3 = \frac{3}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}}$
• Среднее гармоническое четырёх чисел ($x_1, x_2, x_3, x_4$): $H_4 = \frac{4}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \frac{1}{x_4}}$
• Среднее гармоническое n чисел ($x_1, x_2, \dots, x_n$): $H_n = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}$

Ответ: Выражение для средней скорости: $v_{ср} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$. Среднее гармоническое n чисел — это частное от деления n на сумму чисел, обратных данным.

3)

Да, в этой задаче среднее гармоническое (44,44...) оказалось меньше среднего арифметического (45). Проверим, будет ли это неравенство верно для других положительных чисел.

Эксперимент 1: Возьмём числа 60 и 30. Среднее гармоническое: $H = \frac{2 \cdot 60 \cdot 30}{60 + 30} = \frac{3600}{90} = 40$. Среднее арифметическое: $A = \frac{60 + 30}{2} = \frac{90}{2} = 45$. Результат: $40 < 45$. Неравенство верно.

Эксперимент 2: Возьмём числа 10 и 90. Среднее гармоническое: $H = \frac{2 \cdot 10 \cdot 90}{10 + 90} = \frac{1800}{100} = 18$. Среднее арифметическое: $A = \frac{10 + 90}{2} = \frac{100}{2} = 50$. Результат: $18 < 50$. Неравенство верно.

Эксперимент 3: Возьмём одинаковые числа, например, 60 и 60. Среднее гармоническое: $H = \frac{2 \cdot 60 \cdot 60}{60 + 60} = \frac{7200}{120} = 60$. Среднее арифметическое: $A = \frac{60 + 60}{2} = \frac{120}{2} = 60$. Результат: $H = A$. В этом случае значения равны.

На основании этих экспериментов можно выдвинуть гипотезу, что среднее гармоническое двух положительных чисел всегда меньше или равно их среднему арифметическому ($H \le A$), причём равенство достигается только тогда, когда числа равны.

Можно ли на их основании сделать общий вывод? Почему?

Нет, на основании нескольких экспериментов нельзя сделать абсолютно строгий общий вывод. Эксперименты лишь подтверждают гипотезу для конкретных случаев, но не доказывают её для всех возможных чисел. В математике для общего вывода требуется строгое доказательство.

Почему? Потому что существует бесконечное множество пар чисел, и мы не можем проверить их все. Мог бы найтись такой случай (контрпример), который опровергнет нашу гипотезу. Для доказательства неравенства $H \le A$ нужно провести алгебраические преобразования. Доказательство сводится к тому, что неравенство $\frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} \le \frac{v_1 + v_2}{2}$ эквивалентно неравенству $0 \le (v_1-v_2)^2$, которое всегда верно, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Ответ: Да, неравенство будет верно и для других чисел (среднее гармоническое не больше среднего арифметического). Однако на основании нескольких экспериментов нельзя сделать общий вывод, так как они не охватывают все возможные случаи. Для общего вывода требуется математическое доказательство.

Условие 2010-2022.

296 1) Из Иванова в Москву за учебниками математики отправился микроавтобус, который прошел весь путь со средней скоростью 50 км/ч. На обратном пути его средняя скорость составила только 40 км/ч. Чему равна средняя скорость микроавтобуса на полном маршруте Иваново – Москва – Иваново? Сравни ее со средним арифметическим скоростей по дороге “туда” и “обратно”. (У к а з а н и е: расстояние между Москвой и Ивановом обозначь $s$.)

2) Реши эту же задачу для “буквенных” скоростей $v_1$ и $v_2$. Полученное выражение называют средним гармоническим чисел $v_1$ и $v_2$. Придумай определение среднего гармонического трех, четырех и вообще любого количества чисел.

3) В этой задаче среднее гармоническое чисел 50 и 40 оказалось меньше их среднего арифметического. Будет ли такое неравенство верно и для других чисел? Проведи несколько экспериментов. Можно ли на их основании сделать общий вывод? Почему?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).