Номер 70, страница 19, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 1. Отрицание высказываний. 3. Отрицания высказываний о существовании - номер 70, страница 19.

Условие 2023.

C 70 Сократима ли дробь, которая в сумме с данной правильной несократимой дробью даёт 1? Рассмотри несколько примеров и докажи подмеченную закономерность.

Решение 2 (2023).

Рассмотрим несколько примеров:

1. Возьмем правильную несократимую дробь $\frac{2}{5}$. Дробь, которая в сумме с ней дает 1, это $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$. Дробь $\frac{3}{5}$ является несократимой, так как ее числитель и знаменатель взаимно просты ($НОД(3, 5) = 1$).

2. Возьмем дробь $\frac{4}{9}$. Она правильная и несократимая ($НОД(4, 9) = 1$). Искомая дробь: $1 - \frac{4}{9} = \frac{9-4}{9} = \frac{5}{9}$. Эта дробь также несократимая, так как $НОД(5, 9) = 1$.

3. Возьмем дробь $\frac{13}{20}$. Она правильная и несократимая ($НОД(13, 20) = 1$). Искомая дробь: $1 - \frac{13}{20} = \frac{20-13}{20} = \frac{7}{20}$. Эта дробь также несократимая, так как $НОД(7, 20) = 1$.

Примеры показывают, что если исходная дробь несократима, то и вторая дробь, дополняющая ее до единицы, также является несократимой.

Докажем подмеченную закономерность:

Пусть дана правильная несократимая дробь $\frac{a}{b}$. Это означает, что $a < b$ и их наибольший общий делитель $НОД(a, b) = 1$.

Дробь, которая в сумме с $\frac{a}{b}$ дает 1, равна $1 - \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b}$.

Нам нужно определить, является ли дробь $\frac{b-a}{b}$ сократимой. Дробь сократима, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1.

Докажем от противного. Предположим, что дробь $\frac{b-a}{b}$ является сократимой. Это означает, что ее числитель ($b-a$) и знаменатель ($b$) имеют некий общий делитель $d > 1$.

Итак, пусть $b-a$ делится на $d$, и $b$ делится на $d$.

Если два числа делятся на $d$, то и их разность делится на $d$. Рассмотрим разность наших чисел:
$b - (b-a) = b - b + a = a$.

Следовательно, число $a$ также должно делиться на $d$.

Таким образом, мы получили, что и число $a$, и число $b$ делятся на $d$, где $d > 1$. Это означает, что $d$ является общим делителем для $a$ и $b$, и, следовательно, $НОД(a, b) \ge d > 1$.

Но это противоречит первоначальному условию, что дробь $\frac{a}{b}$ несократима, то есть $НОД(a, b) = 1$.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, дробь $\frac{b-a}{b}$ не может быть сократимой. Она является несократимой.

Ответ: Нет, дробь, которая в сумме с данной правильной несократимой дробью даёт 1, не является сократимой. Она также является несократимой.

Условие 2010-2022.

c 70 Сократима ли дробь, которая в сумме с данной правильной несократимой дробью дает 1? Рассмотрим несколько примеров и докажи подмеченную закономерность.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).