Номер 412, страница 92, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 1. Понятие рационального числа. 3. Сравнение рациональных чисел - номер 412, страница 92.

Условие 2023.

412 В четырёх классах начальной школы 106 учеников. Во втором классе на 3 ученика больше, чем в первом, а число учеников в третьем классе составляет $ \frac{8}{9} $ от числа учеников в первом и 96 % от числа учеников в четвёртом классе. Сколько учеников в каждом классе? На сколько процентов среднее арифметическое числа учеников в первых трёх классах больше числа учеников в четвёртом классе?

Решение 2 (2023).

Сколько учеников в каждом классе?

Пусть $x_1$, $x_2$, $x_3$ и $x_4$ — количество учеников в первом, втором, третьем и четвертом классах соответственно.
Исходя из условия задачи, составим систему уравнений:
1) Общее число учеников: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 106$
2) Связь между первым и вторым классами: $x_2 = x_1 + 3$
3) Связь между первым и третьим классами: $x_3 = \frac{8}{9}x_1$
4) Связь между третьим и четвертым классами: $x_3 = 0.96x_4$

Для решения системы выразим все переменные через $x_1$.
Из уравнений (3) и (4) следует, что $\frac{8}{9}x_1 = 0.96x_4$.
Выразим $x_4$ через $x_1$:
$x_4 = \frac{\frac{8}{9}x_1}{0.96} = \frac{8}{9}x_1 \div \frac{96}{100} = \frac{8}{9}x_1 \cdot \frac{100}{96} = \frac{8}{9}x_1 \cdot \frac{25}{24} = \frac{25}{27}x_1$.

Теперь подставим выражения для $x_2$, $x_3$ и $x_4$ в уравнение (1):
$x_1 + (x_1 + 3) + \frac{8}{9}x_1 + \frac{25}{27}x_1 = 106$
Решим полученное уравнение:
$2x_1 + 3 + \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3}x_1 + \frac{25}{27}x_1 = 106$
$2x_1 + \frac{24}{27}x_1 + \frac{25}{27}x_1 = 106 - 3$
$\frac{54}{27}x_1 + \frac{24}{27}x_1 + \frac{25}{27}x_1 = 103$
$\frac{54 + 24 + 25}{27}x_1 = 103$
$\frac{103}{27}x_1 = 103$
$x_1 = 27$

Зная количество учеников в первом классе ($x_1=27$), находим количество учеников в остальных классах:
Во втором классе: $x_2 = 27 + 3 = 30$ учеников.
В третьем классе: $x_3 = \frac{8}{9} \cdot 27 = 24$ ученика.
В четвертом классе: $x_4 = \frac{25}{27} \cdot 27 = 25$ учеников.
Проверка: $27 + 30 + 24 + 25 = 106$. Все верно.
Ответ: в первом классе – 27 учеников, во втором – 30 учеников, в третьем – 24 ученика, в четвёртом – 25 учеников.

На сколько процентов среднее арифметическое числа учеников в первых трёх классах больше числа учеников в четвёртом классе?

1. Найдём среднее арифметическое числа учеников в первых трёх классах:
$\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \frac{27 + 30 + 24}{3} = \frac{81}{3} = 27$ учеников.

2. Сравним полученное среднее значение (27) с числом учеников в четвёртом классе (25).
Для нахождения процентного превышения, примем число учеников в четвертом классе за 100%.
Найдём абсолютную разницу: $27 - 25 = 2$ ученика.
Вычислим, сколько процентов составляет эта разница от числа учеников в четвертом классе:
$\frac{2}{25} \cdot 100\% = 8\%$.
Ответ: среднее арифметическое числа учеников в первых трёх классах на 8% больше числа учеников в четвёртом классе.

Условие 2010-2022.

412 В четырех классах начальной школы 106 учеников. Во втором классе на 3 ученика больше, чем в первом, а число учеников в третьем классе составляет $\frac{8}{9}$ от числа учеников в первом и 96% от числа учеников в четвертом классе. Сколько учеников в каждом классе? На сколько процентов среднее арифметическое число учеников в первых трех классах больше числа учеников в четвертом классе?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).