Номер 410, страница 91, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 1. Понятие рационального числа. 3. Сравнение рациональных чисел - номер 410, страница 91.

Условие 2023.

410 Реши уравнения:

1) $(\frac{2}{3}a - 0,7): 1,5 + 0,5 = \frac{29}{30}$;

2) $4,2 - 0,2 : (\frac{1}{6} + 3b) = 3\frac{3}{5}$;

3) $2c + 0,2c - 0,8c + 3,4c = 6,4$;

4) $\frac{2}{3}d - \frac{1}{2}d + d + 2\frac{1}{6} = 4,5$;

5) $\frac{5\frac{1}{3}}{0,2x} = \frac{8}{0,75}$;

6) $0,2 : \frac{3}{16} = 2\frac{2}{3} : (0,4y - 1,5)$;

7) $6m - 2,6 = 2,8m + \frac{1}{15}$;

8) $4(n + \frac{5}{12}) = 1\frac{1}{6}(6n - 1\frac{1}{7})$.

Решение 2 (2023).

1) $(\frac{2}{3}a - 0,7) : 1,5 + 0,5 = \frac{29}{30}$

Перенесем $0,5$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$(\frac{2}{3}a - 0,7) : 1,5 = \frac{29}{30} - 0,5$
Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,7 = \frac{7}{10}$, $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$, $0,5 = \frac{1}{2}$.
$(\frac{2}{3}a - \frac{7}{10}) : \frac{3}{2} = \frac{29}{30} - \frac{1}{2}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 30:
$(\frac{2}{3}a - \frac{7}{10}) : \frac{3}{2} = \frac{29}{30} - \frac{15}{30}$
$(\frac{2}{3}a - \frac{7}{10}) : \frac{3}{2} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$
Теперь найдем делимое $(\frac{2}{3}a - \frac{7}{10})$, умножив частное на делитель:
$\frac{2}{3}a - \frac{7}{10} = \frac{7}{15} \cdot \frac{3}{2}$
$\frac{2}{3}a - \frac{7}{10} = \frac{21}{30} = \frac{7}{10}$
Перенесем $-\frac{7}{10}$ в правую часть:
$\frac{2}{3}a = \frac{7}{10} + \frac{7}{10}$
$\frac{2}{3}a = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$
Найдем $a$, разделив правую часть на коэффициент при $a$:
$a = \frac{7}{5} : \frac{2}{3} = \frac{7}{5} \cdot \frac{3}{2}$
$a = \frac{21}{10} = 2,1$
Ответ: $2,1$.

2) $4,2 - 0,2 : (\frac{1}{6} + 3b) = 3\frac{3}{5}$

Преобразуем десятичные дроби и смешанное число в обыкновенные дроби: $4,2 = \frac{42}{10} = \frac{21}{5}$, $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$, $3\frac{3}{5} = \frac{18}{5}$.
$\frac{21}{5} - \frac{1}{5} : (\frac{1}{6} + 3b) = \frac{18}{5}$
Найдем вычитаемое, вычтя из уменьшаемого разность:
$\frac{1}{5} : (\frac{1}{6} + 3b) = \frac{21}{5} - \frac{18}{5}$
$\frac{1}{5} : (\frac{1}{6} + 3b) = \frac{3}{5}$
Теперь найдем делитель $(\frac{1}{6} + 3b)$, разделив делимое на частное:
$\frac{1}{6} + 3b = \frac{1}{5} : \frac{3}{5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{3}$
$\frac{1}{6} + 3b = \frac{1}{3}$
Найдем неизвестное слагаемое $3b$:
$3b = \frac{1}{3} - \frac{1}{6}$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$3b = \frac{2}{6} - \frac{1}{6}$
$3b = \frac{1}{6}$
Найдем $b$:
$b = \frac{1}{6} : 3 = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3}$
$b = \frac{1}{18}$
Ответ: $\frac{1}{18}$.

3) $2c + 0,2c - 0,8c + 3,4c = 6,4$

Сложим коэффициенты при переменной $c$ в левой части уравнения:
$(2 + 0,2 - 0,8 + 3,4)c = 6,4$
$(2,2 - 0,8 + 3,4)c = 6,4$
$(1,4 + 3,4)c = 6,4$
$4,8c = 6,4$
Найдем $c$:
$c = \frac{6,4}{4,8} = \frac{64}{48}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 16:
$c = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$
Ответ: $1\frac{1}{3}$.

4) $\frac{2}{3}d - \frac{1}{2}d + d + 2\frac{1}{6} = 4,5$

Преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби: $2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$, $4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$.
$\frac{2}{3}d - \frac{1}{2}d + d + \frac{13}{6} = \frac{9}{2}$
Сгруппируем члены с переменной $d$ в левой части, а числовые значения — в правой:
$(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 1)d = \frac{9}{2} - \frac{13}{6}$
Приведем дроби в каждой части к общему знаменателю (в левой — 6, в правой — 6):
$(\frac{4}{6} - \frac{3}{6} + \frac{6}{6})d = \frac{27}{6} - \frac{13}{6}$
$\frac{7}{6}d = \frac{14}{6}$
Упростим правую часть: $\frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
$\frac{7}{6}d = \frac{7}{3}$
Найдем $d$:
$d = \frac{7}{3} : \frac{7}{6} = \frac{7}{3} \cdot \frac{6}{7}$
$d = \frac{6}{3} = 2$
Ответ: $2$.

5) $\frac{5\frac{1}{3}}{0,2x} = \frac{8}{0,75}$

Это пропорция. Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$5\frac{1}{3} \cdot 0,75 = 0,2x \cdot 8$
Преобразуем смешанное число и десятичные дроби в обыкновенные: $5\frac{1}{3} = \frac{16}{3}$, $0,75 = \frac{3}{4}$, $0,2 = \frac{1}{5}$.
$\frac{16}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{5}x \cdot 8$
Выполним умножение в обеих частях:
$\frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{8}{5}x$
$4 = \frac{8}{5}x$
Найдем $x$:
$x = 4 : \frac{8}{5} = 4 \cdot \frac{5}{8}$
$x = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5$
Ответ: $2,5$.

6) $0,2 : \frac{3}{16} = 2\frac{2}{3} : (0,4y - 1,5)$

Это пропорция. Применим основное свойство пропорции:
$0,2 \cdot (0,4y - 1,5) = \frac{3}{16} \cdot 2\frac{2}{3}$
Преобразуем все числа в обыкновенные дроби: $0,2 = \frac{1}{5}$, $0,4 = \frac{2}{5}$, $1,5 = \frac{3}{2}$, $2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.
$\frac{1}{5}(\frac{2}{5}y - \frac{3}{2}) = \frac{3}{16} \cdot \frac{8}{3}$
Упростим правую часть: $\frac{3 \cdot 8}{16 \cdot 3} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
Раскроем скобки в левой части:
$\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5}y - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{25}y - \frac{3}{10} = \frac{1}{2}$
Перенесем $-\frac{3}{10}$ в правую часть:
$\frac{2}{25}y = \frac{1}{2} + \frac{3}{10}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 10:
$\frac{2}{25}y = \frac{5}{10} + \frac{3}{10}$
$\frac{2}{25}y = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
Найдем $y$:
$y = \frac{4}{5} : \frac{2}{25} = \frac{4}{5} \cdot \frac{25}{2}$
$y = \frac{4 \cdot 25}{5 \cdot 2} = \frac{100}{10} = 10$
Ответ: $10$.

7) $6m - 2,6 = 2,8m + \frac{1}{15}$

Сгруппируем члены с переменной $m$ в левой части, а свободные члены — в правой:
$6m - 2,8m = \frac{1}{15} + 2,6$
$3,2m = \frac{1}{15} + \frac{26}{10}$
Представим $3,2$ и $\frac{26}{10}$ в виде обыкновенных дробей: $3,2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$, $\frac{26}{10} = \frac{13}{5}$.
$\frac{16}{5}m = \frac{1}{15} + \frac{13}{5}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 15:
$\frac{16}{5}m = \frac{1}{15} + \frac{39}{15}$
$\frac{16}{5}m = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}$
Найдем $m$:
$m = \frac{8}{3} : \frac{16}{5} = \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{16}$
$m = \frac{8 \cdot 5}{3 \cdot 16} = \frac{5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}$
Ответ: $\frac{5}{6}$.

8) $4(n + \frac{5}{12}) = \frac{1}{6}(6n - 1\frac{1}{7})$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$4n + 4 \cdot \frac{5}{12} = \frac{1}{6} \cdot 6n - \frac{1}{6} \cdot 1\frac{1}{7}$
Упростим обе части. Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}$.
$4n + \frac{20}{12} = n - \frac{1}{6} \cdot \frac{8}{7}$
Сократим дроби: $\frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ и $\frac{8}{42} = \frac{4}{21}$.
$4n + \frac{5}{3} = n - \frac{4}{21}$
Сгруппируем члены с переменной $n$ в левой части, а свободные члены — в правой:
$4n - n = -\frac{4}{21} - \frac{5}{3}$
$3n = -\frac{4}{21} - \frac{35}{21}$
$3n = -\frac{39}{21}$
Сократим дробь в правой части на 3: $3n = -\frac{13}{7}$.
Найдем $n$:
$n = -\frac{13}{7} : 3 = -\frac{13}{7 \cdot 3}$
$n = -\frac{13}{21}$
Ответ: $-\frac{13}{21}$.

Условие 2010-2022.

410 Реши уравнения:

1) $(\frac{2}{3} a - 0,7) : 1,5 + 0,5 = \frac{29}{30};$

2) $4,2 - 0,2 : (\frac{1}{6} + 3b) = 3\frac{3}{5};$

3) $2c + 0,2c - 0,8c + 3,4c = 6,4;$

4) $\frac{2}{3} d - \frac{1}{2} d + d + 2\frac{1}{6} = 4,5;$

5) $\frac{5\frac{1}{3}}{0,2x} = \frac{8}{0,75};$

6) $0,2 : \frac{3}{16} = 2\frac{2}{3} : (0,4y - 1,5);$

7) $6m - 2,6 = 2,8m + \frac{1}{15};$

8) $4(n + \frac{5}{12}) = 1\frac{1}{6} (6n - 1\frac{1}{7}).$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).