Номер 408, страница 91, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 1. Понятие рационального числа. 3. Сравнение рациональных чисел - номер 408, страница 91.

Условие 2023.

408 Найди множество корней уравнения, пользуясь определением модуля в «разветвлённой» форме:

1) $|x| = 4$;

2) $|y| = 0$;

3) $|z| = -3$;

4) $|t| = 1,5$;

5) $|x| = a$, где $a > 0$;

6) $|x| = b$, где $b \ge 0$;

7) $|x| = c$, где $c < 0$;

8) $|x| = d$, где $d \le 0$.

Решение 2 (2023).

Для решения данных уравнений воспользуемся определением модуля в «разветвлённой» форме:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

1) $|x| = 4$

Согласно определению модуля, данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

1. $\begin{cases} x \ge 0 \\ x = 4 \end{cases}$ Решением этой системы является $x = 4$.

2. $\begin{cases} x < 0 \\ -x = 4 \end{cases}$ Решением этой системы является $x = -4$.

Множество корней уравнения состоит из двух чисел.

Ответ: $\{-4, 4\}$.

2) $|y| = 0$

Рассмотрим два случая:

1. Если $y \ge 0$, то уравнение принимает вид $y = 0$. Это значение удовлетворяет условию $y \ge 0$.

2. Если $y < 0$, то уравнение принимает вид $-y = 0$, откуда $y = 0$. Это значение не удовлетворяет условию $y < 0$, поэтому в этом случае корней нет.

Уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $\{0\}$.

3) $|z| = -3$

По определению, модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|z| \ge 0$ для любого $z$. Правая часть уравнения, $-3$, является отрицательным числом. Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: $\emptyset$.

4) $|t| = 1,5$

Раскрываем модуль по определению:

1. Если $t \ge 0$, то $t = 1,5$. Корень $1,5$ удовлетворяет условию.

2. Если $t < 0$, то $-t = 1,5$, откуда $t = -1,5$. Корень $-1,5$ удовлетворяет условию.

Множество корней уравнения состоит из двух чисел.

Ответ: $\{-1,5; 1,5\}$.

5) $|x| = a$, где $a > 0$

Так как $a$ — положительное число, рассуждаем аналогично пункту 1:

1. Если $x \ge 0$, то $x = a$. Поскольку $a > 0$, это является корнем.

2. Если $x < 0$, то $-x = a$, откуда $x = -a$. Поскольку $a > 0$, то $-a < 0$, следовательно, это также является корнем.

Множество корней уравнения состоит из двух чисел.

Ответ: $\{-a, a\}$.

6) $|x| = b$, где $b \ge 0$

Этот случай обобщает пункты 2 и 5. Рассмотрим два подслучая для $b$:

1. Если $b > 0$, то, как и в пункте 5, уравнение имеет два корня: $x=b$ и $x=-b$.

2. Если $b = 0$, то, как и в пункте 2, уравнение $|x|=0$ имеет один корень: $x=0$.

Оба случая можно объединить в один ответ.

Ответ: $\{-b, b\}$.

7) $|x| = c$, где $c < 0$

Этот случай является обобщением пункта 3. Модуль любого числа $|x|$ всегда неотрицателен ($|x| \ge 0$). По условию, $c$ — отрицательное число. Уравнение не имеет решений, так как неотрицательная величина не может равняться отрицательной.

Ответ: $\emptyset$.

8) $|x| = d$, где $d \le 0$

Этот случай обобщает пункты 3 и 2. Рассмотрим два подслучая для $d$:

1. Если $d < 0$, то, как и в пункте 7, уравнение не имеет корней, так как $|x| \ge 0$.

2. Если $d = 0$, то уравнение принимает вид $|x| = 0$, и, как в пункте 2, его единственный корень $x=0$.

Таким образом, решение зависит от значения $d$.

Ответ: $\emptyset$ при $d < 0$; $\{0\}$ при $d = 0$.

Условие 2010-2022.

408 Найди множество корней уравнения, пользуясь определением модуля в “разветвленной” форме:

1) $|x| = 4;$

2) $|y| = 0;$

3) $|z| = -3;$

4) $|t| = 1,5;$

5) $|x| = a$, где $a > 0;$

6) $|x| = b$, где $b \ge 0;$

7) $|x| = c$, где $c < 0;$

8) $|x| = d$, где $d \le 0.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).