Номер 499, страница 110, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. 2. Вычитание рациональных чисел - номер 499, страница 110.

Условие 2023.

499 Построй треугольник ABC, проведи три его медианы и найди их точку пересечения O (см. № 223, с. 56). Найди для каждой медианы отношение отрезков, на которые она делится точкой O, считая от вершины. Повтори эксперимент. Что ты замечаешь? Можно ли утверждать, что полученный вывод имеет общий характер? Как называется высказывание, являющееся предположением?

Решение 2 (2023).

1. Построение треугольника и нахождение отношений

Сначала построим произвольный треугольник $ABC$. Затем для каждой стороны найдем ее середину. Обозначим середину стороны $BC$ как $A_1$, середину стороны $AC$ как $B_1$, и середину стороны $AB$ как $C_1$.

Теперь проведем медианы. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Проведем три медианы: $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Мы увидим, что все три медианы пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку буквой $O$.

Далее, измерим для каждой медианы длины отрезков, на которые ее делит точка $O$. Например, с помощью линейки.

• Для медианы $AA_1$ измерим отрезки $AO$ и $OA_1$.
• Для медианы $BB_1$ измерим отрезки $BO$ и $OB_1$.
• Для медианы $CC_1$ измерим отрезки $CO$ и $OC_1$.

Найдем отношение этих отрезков (длину большего отрезка, идущего от вершины, разделим на длину меньшего).

Например, в нашем эксперименте могли получиться следующие значения: $AO = 4$ см, $OA_1 = 2$ см; $BO = 3.6$ см, $OB_1 = 1.8$ см; $CO = 5$ см, $OC_1 = 2.5$ см.

Вычислим отношения:

$ \frac{AO}{OA_1} = \frac{4}{2} = 2 $

$ \frac{BO}{OB_1} = \frac{3.6}{1.8} = 2 $

$ \frac{CO}{OC_1} = \frac{5}{2.5} = 2 $

Повторив эксперимент с другим треугольником (например, тупоугольным или прямоугольным), мы получим тот же результат: отношение отрезков для каждой медианы будет равно 2.

Ответ: Для каждой медианы отношение отрезка от вершины до точки пересечения к отрезку от точки пересечения до середины противоположной стороны равно 2.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в одном и том же отношении, независимо от формы и размеров треугольника. Этот результат повторяется при каждом эксперименте.

Ответ: Точка пересечения медиан делит каждую медиану в одном и том же отношении — 2 к 1, считая от вершины.

Можно ли утверждать, что полученный вывод имеет общий характер?

Да, можно утверждать, что полученный вывод имеет общий характер. Это не случайное совпадение, а фундаментальное свойство любого треугольника, которое формулируется в виде теоремы. Теорема о медианах треугольника гласит: медианы треугольника пересекаются в одной точке (называемой центроидом) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Ответ: Да, можно, так как это свойство является доказанной теоремой геометрии, верной для любого треугольника.

Как называется высказывание, являющееся предположением?

Высказывание, которое выдвигается в качестве предположения на основе наблюдений и экспериментов, но еще не доказано строго математически, называется гипотезой. После того как гипотеза доказывается, она становится теоремой.

Ответ: Гипотеза.

Условие 2010-2022.

499 Построй треугольник $ABC$, проведи три его медианы и найди их точку пересечения $O$ (см. № 223, стр. 56). Найди для каждой медианы отношение отрезков, на которые она делится точкой $O$, считая от вершины. Повтори эксперимент. Что ты замечаешь? Можно ли утверждать, что полученный вывод имеет общий характер? Как называется высказывание, являющееся предположением?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).