Номер 163, страница 36, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

6. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 163, страница 36.

Условие 2023.

C 163 Сколько различных пар по два любых цветка в каждой можно составить из васильков, ромашек и колокольчиков? Как изменится решение, если пары можно составлять только из двух разных цветков?

Решение 2 (2023).

Сколько различных пар по два любых цветка в каждой можно составить из васильков, ромашек и колокольчиков?

У нас есть три вида цветков: василек (В), ромашка (Р) и колокольчик (К). Условие "любых" двух цветков означает, что цветки в паре могут быть как разными, так и одинаковыми.

Способ 1: Перечисление всех вариантов

Сначала составим пары из одинаковых цветков:

• Василек и Василек
• Ромашка и Ромашка
• Колокольчик и Колокольчик

Таких пар получилось 3.

Теперь составим пары из разных цветков (порядок в паре не важен, поэтому пара "василек и ромашка" — это то же самое, что "ромашка и василек"):

• Василек и Ромашка
• Василек и Колокольчик
• Ромашка и Колокольчик

Таких пар тоже 3.

Общее количество различных пар равно сумме пар из одинаковых и разных цветков: $3 + 3 = 6$.

Способ 2: Использование формулы

Эта задача относится к комбинаторике и является примером сочетаний с повторениями. Формула для числа сочетаний с повторениями из $n$ элементов по $k$:

$\bar{C}_{n}^{k} = C_{n+k-1}^{k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

В нашем случае количество видов цветков $n=3$, а количество цветков в паре $k=2$.

Подставим значения в формулу:

$\bar{C}_{3}^{2} = C_{3+2-1}^{2} = C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.

Ответ: можно составить 6 различных пар.

Как изменится решение, если пары можно составлять только из двух разных цветков?

Если пары можно составлять только из двух разных цветков, то мы не рассматриваем варианты, когда оба цветка в паре одинаковые. Это означает, что из общего числа пар, найденного в первой части, нужно исключить пары из одинаковых цветков.

Способ 1: Перечисление вариантов

Мы должны составить пары только из разных цветков. Как мы уже перечислили в первом пункте, это:

• Василек и Ромашка
• Василек и Колокольчик
• Ромашка и Колокольчик

Всего получается 3 такие пары.

Способ 2: Использование формулы

Эта задача является примером сочетаний без повторений. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Здесь, как и ранее, $n=3$ и $k=2$.

Подставим значения в формулу:

$C_{3}^{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$.

Таким образом, решение изменится: количество возможных пар уменьшится с 6 до 3.

Ответ: количество пар уменьшится до 3.

Условие 2010-2022.

C 163

Сколько различных пар по два любых цветка в каждой можно составить из васильков, ромашек и колокольчиков? Как изменится решение, если пары можно составлять только из двух разных цветков?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).