Номер 165, страница 37, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

6. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 165, страница 37.

Условие 2023.

165. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если цифры в записи числа:

а) не повторяются;

б) могут повторяться?

Решение 2 (2023).

Для решения данной задачи используются основные принципы комбинаторики.

а) не повторяются;

В этом случае нам нужно составить трёхзначные числа из пяти цифр {1, 2, 3, 4, 5} так, чтобы все цифры в числе были различны. Это задача на размещения без повторений.

Рассмотрим выбор цифр для каждой позиции в трёхзначном числе:

• На первую позицию (сотни) можно выбрать любую из 5 доступных цифр.
• После выбора первой цифры, для второй позиции (десятки) остаётся 4 варианта, так как одна цифра уже использована.
• Для третьей позиции (единицы) остаётся 3 варианта, так как две цифры уже использованы.

По правилу умножения, общее количество таких чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$N = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Также можно использовать формулу для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=5$ и $k=3$:

$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$.

Ответ: 60.

б) могут повторяться?

В этом случае цифры в записи числа могут быть одинаковыми. Это задача на размещения с повторениями.

Для каждой из трёх позиций в числе мы можем выбрать любую из пяти доступных цифр:

• На первую позицию (сотни) есть 5 вариантов выбора.
• На вторую позицию (десятки) также есть 5 вариантов, так как повторения разрешены.
• На третью позицию (единицы) — снова 5 вариантов.

По правилу умножения, общее количество таких чисел равно:

$N = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$.

Это соответствует формуле для числа размещений с повторениями из $n$ элементов по $k$: $\bar{A}_n^k = n^k$. В нашем случае $n=5$ и $k=3$:

$\bar{A}_5^3 = 5^3 = 125$.

Ответ: 125.

Условие 2010-2022.

165 Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если цифры в записи числа:

а) не повторяются;

б) могут повторяться?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).