Номер 174, страница 40, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

1. Прямоугольные координаты на плоскости. Параграф 4. Координатная плоскость. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 174, страница 40.

Условие 2023.

174 Построй треугольник $ABC$ по координатам его вершин:

а) $A (8; -6)$, $B (3; 4)$, $C (-6; 1)$;

б) $A (-3; -2)$, $B (1; 6)$, $C (9; -6)$.

Найди координаты точек пересечения сторон треугольника с осями координат.

Решение 2 (2023).

а) Для треугольника с вершинами в точках $A(8; -6)$, $B(3; 4)$, $C(-6; 1)$ найдем координаты точек пересечения его сторон с осями координат.

Для этого для каждой стороны найдем уравнение прямой, на которой она лежит, по формуле прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$. Затем найдем точки пересечения с осями $Ox$ (полагая $y=0$) и $Oy$ (полагая $x=0$) и проверим, принадлежит ли найденная точка соответствующей стороне (отрезку).

Сторона AB (точки $A(8; -6)$ и $B(3; 4)$):
Уравнение прямой: $\frac{x - 8}{3 - 8} = \frac{y - (-6)}{4 - (-6)} \implies \frac{x - 8}{-5} = \frac{y + 6}{10} \implies 2(x - 8) = -(y + 6) \implies 2x + y - 10 = 0$.
• Пересечение с осью $Ox$ ($y=0$): $2x - 10 = 0 \implies x = 5$. Точка $(5; 0)$. Эта точка принадлежит стороне AB, так как $3 \le 5 \le 8$ и $-6 \le 0 \le 4$.
• Пересечение с осью $Oy$ ($x=0$): $y - 10 = 0 \implies y = 10$. Точка $(0; 10)$. Эта точка не принадлежит стороне AB, так как $y=10$ не находится в интервале $[-6; 4]$.

Сторона BC (точки $B(3; 4)$ и $C(-6; 1)$):
Уравнение прямой: $\frac{x - 3}{-6 - 3} = \frac{y - 4}{1 - 4} \implies \frac{x - 3}{-9} = \frac{y - 4}{-3} \implies x - 3 = 3(y - 4) \implies x - 3y + 9 = 0$.
• Пересечение с осью $Ox$ ($y=0$): $x + 9 = 0 \implies x = -9$. Точка $(-9; 0)$. Не принадлежит стороне BC, так как $x=-9$ не находится в интервале $[-6; 3]$.
• Пересечение с осью $Oy$ ($x=0$): $-3y + 9 = 0 \implies y = 3$. Точка $(0; 3)$. Принадлежит стороне BC, так как $-6 \le 0 \le 3$ и $1 \le 3 \le 4$.

Сторона AC (точки $A(8; -6)$ и $C(-6; 1)$):
Уравнение прямой: $\frac{x - 8}{-6 - 8} = \frac{y - (-6)}{1 - (-6)} \implies \frac{x - 8}{-14} = \frac{y + 6}{7} \implies x - 8 = -2(y + 6) \implies x + 2y + 4 = 0$.
• Пересечение с осью $Ox$ ($y=0$): $x + 4 = 0 \implies x = -4$. Точка $(-4; 0)$. Принадлежит стороне AC, так как $-6 \le -4 \le 8$ и $-6 \le 0 \le 1$.
• Пересечение с осью $Oy$ ($x=0$): $2y + 4 = 0 \implies y = -2$. Точка $(0; -2)$. Принадлежит стороне AC, так как $-6 \le 0 \le 8$ и $-6 \le -2 \le 1$.

Ответ: $(5; 0)$, $(0; 3)$, $(-4; 0)$, $(0; -2)$.

б) Для треугольника с вершинами в точках $A(-3; -2)$, $B(1; 6)$, $C(9; -6)$ найдем координаты точек пересечения его сторон с осями координат.

Сторона AB (точки $A(-3; -2)$ и $B(1; 6)$):
Уравнение прямой: $\frac{x - (-3)}{1 - (-3)} = \frac{y - (-2)}{6 - (-2)} \implies \frac{x + 3}{4} = \frac{y + 2}{8} \implies 2(x + 3) = y + 2 \implies 2x - y + 4 = 0$.
• Пересечение с осью $Ox$ ($y=0$): $2x + 4 = 0 \implies x = -2$. Точка $(-2; 0)$. Принадлежит стороне AB, так как $-3 \le -2 \le 1$ и $-2 \le 0 \le 6$.
• Пересечение с осью $Oy$ ($x=0$): $-y + 4 = 0 \implies y = 4$. Точка $(0; 4)$. Принадлежит стороне AB, так как $-3 \le 0 \le 1$ и $-2 \le 4 \le 6$.

Сторона BC (точки $B(1; 6)$ и $C(9; -6)$):
Уравнение прямой: $\frac{x - 1}{9 - 1} = \frac{y - 6}{-6 - 6} \implies \frac{x - 1}{8} = \frac{y - 6}{-12} \implies -3(x - 1) = 2(y - 6) \implies 3x + 2y - 15 = 0$.
• Пересечение с осью $Ox$ ($y=0$): $3x - 15 = 0 \implies x = 5$. Точка $(5; 0)$. Принадлежит стороне BC, так как $1 \le 5 \le 9$ и $-6 \le 0 \le 6$.
• Пересечение с осью $Oy$ ($x=0$): $2y - 15 = 0 \implies y = 7.5$. Точка $(0; 7.5)$. Не принадлежит стороне BC, так как $y=7.5$ не находится в интервале $[-6; 6]$.

Сторона AC (точки $A(-3; -2)$ и $C(9; -6)$):
Уравнение прямой: $\frac{x - (-3)}{9 - (-3)} = \frac{y - (-2)}{-6 - (-2)} \implies \frac{x + 3}{12} = \frac{y + 2}{-4} \implies -(x + 3) = 3(y + 2) \implies x + 3y + 9 = 0$.
• Пересечение с осью $Ox$ ($y=0$): $x + 9 = 0 \implies x = -9$. Точка $(-9; 0)$. Не принадлежит стороне AC, так как $x=-9$ не находится в интервале $[-3; 9]$.
• Пересечение с осью $Oy$ ($x=0$): $3y + 9 = 0 \implies y = -3$. Точка $(0; -3)$. Принадлежит стороне AC, так как $-3 \le 0 \le 9$ и $-6 \le -3 \le -2$.

Ответ: $(-2; 0)$, $(0; 4)$, $(5; 0)$, $(0; -3)$.

Условие 2010-2022.

174 Построй треугольник $ABC$ по координатам его вершин:

a) $A (8; -6)$, $B (3; 4)$, $C (-6; 1);$

б) $A (-3; -2)$, $B (1; 6)$, $C (9; -6)$.

Найди координаты точек пересечения сторон треугольника с осями координат.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).