Номер 177, страница 40, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 4. Координатная плоскость. 1. Прямоугольные координаты на плоскости - номер 177, страница 40.

Условие 2023.

177 Построй четырёхугольник $ABCD$, проведи необходимые измерения и определи его вид. Какие свойства этого четырёхугольника тебе известны?

а) $A(-4; 0)$, $B(0; 6)$, $C(3; 4)$, $D(-1; -2);$

б) $A(1; 4)$, $B(4; 0)$, $C(0; -3)$, $D(-3; 1);$

в) $A(-6; 1)$, $B(0; 3)$, $C(2; 0)$, $D(-4; -2);$

г) $A(3; 0)$, $B(0; -2)$, $C(-4; 0)$, $D(2; 4).$

Решение 2 (2023).

а) A(-4; 0), B(0; 6), C(3; 4), D(-1; -2)

Чтобы определить вид четырехугольника ABCD, построим его по заданным координатам и проведем необходимые вычисления. В качестве измерений мы вычислим длины его сторон и диагоналей, а также наклоны сторон.

1. Вычислим длины сторон по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$AB = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$
$BC = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 6)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$
$CD = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$
$DA = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

Мы видим, что противолежащие стороны попарно равны: $AB = CD$ и $BC = DA$. Это свойство параллелограмма. Значит, ABCD — параллелограмм.

2. Чтобы уточнить вид параллелограмма, проверим, являются ли его углы прямыми. Для этого найдем угловые коэффициенты (наклоны) смежных сторон AB и BC по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Если их произведение равно -1, то стороны перпендикулярны.

$k_{AB} = \frac{6 - 0}{0 - (-4)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$k_{BC} = \frac{4 - 6}{3 - 0} = \frac{-2}{3}$

Произведение наклонов: $k_{AB} \cdot k_{BC} = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) = -1$. Это означает, что угол $\angle B$ прямой ($90^\circ$). Параллелограмм с прямым углом — это прямоугольник.

3. Таким образом, четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Основные свойства прямоугольника:

• Противоположные стороны равны и параллельны.
• Все углы прямые ($90^\circ$).
• Диагонали равны по длине.
• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Ответ: Четырехугольник ABCD — прямоугольник. Его свойства: противоположные стороны равны и параллельны, все углы прямые, диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.

б) A(1; 4), B(4; 0), C(0; -3), D(-3; 1)

Определим вид четырехугольника ABCD, вычислив длины его сторон и диагоналей.

1. Вычислим длины сторон:

$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$BC = \sqrt{(0 - 4)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
$CD = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$DA = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Все стороны четырехугольника равны ($AB = BC = CD = DA = 5$). Это означает, что ABCD — ромб.

2. Чтобы проверить, является ли этот ромб квадратом, вычислим длины диагоналей AC и BD. У квадрата диагонали равны.

$AC = \sqrt{(0 - 1)^2 + (-3 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$
$BD = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$

Диагонали AC и BD равны. Ромб с равными диагоналями является квадратом.

3. Следовательно, четырехугольник ABCD — квадрат.

Основные свойства квадрата:

• Все стороны равны.
• Все углы прямые ($90^\circ$).
• Диагонали равны, перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов.

Ответ: Четырехугольник ABCD — квадрат. Его свойства: все стороны равны, все углы прямые, диагонали равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

в) A(-6; 1), B(0; 3), C(2; 0), D(-4; -2)

Для определения вида четырехугольника ABCD вычислим длины его сторон.

1. Вычисление длин сторон:

$AB = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$
$BC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$
$CD = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$
$DA = \sqrt{(-6 - (-4))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Противолежащие стороны попарно равны ($AB = CD$ и $BC = DA$), следовательно, ABCD — параллелограмм.

2. Проверим, является ли он прямоугольником или ромбом. Сравним длины смежных сторон: $AB = \sqrt{40}$, а $BC = \sqrt{13}$. Так как $AB \neq BC$, это не ромб (и не квадрат).

Проверим, равны ли диагонали. Если они не равны, то это не прямоугольник.

$AC = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}$
$BD = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$

Диагонали не равны ($AC \neq BD$), значит, это не прямоугольник.

3. Таким образом, ABCD — это параллелограмм общего вида.

Основные свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны равны и параллельны.
• Противоположные углы равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Ответ: Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Его свойства: противоположные стороны равны и параллельны, противоположные углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам.

г) A(3; 0), B(0; -2), C(-4; 0), D(2; 4)

Для определения вида четырехугольника ABCD проверим параллельность его сторон, вычислив их угловые коэффициенты (наклоны).

1. Вычисление угловых коэффициентов сторон:

$k_{AB} = \frac{-2 - 0}{0 - 3} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$
$k_{BC} = \frac{0 - (-2)}{-4 - 0} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$
$k_{CD} = \frac{4 - 0}{2 - (-4)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$k_{DA} = \frac{0 - 4}{3 - 2} = \frac{-4}{1} = -4$

Угловые коэффициенты сторон AB и CD равны ($k_{AB} = k_{CD}$), значит, эти стороны параллельны ($AB \parallel CD$). Угловые коэффициенты сторон BC и DA не равны, значит, эти стороны не параллельны.

2. Четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны, называется трапецией.

Проверим, является ли трапеция равнобедренной. Для этого найдем длины ее непараллельных сторон (боковых сторон) BC и DA.

$BC = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$
$DA = \sqrt{(3 - 2)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

Так как $BC \neq DA$, трапеция не является равнобедренной.

3. Следовательно, ABCD — трапеция общего вида.

Основные свойства трапеции:

• Две стороны (основания) параллельны, а две другие (боковые стороны) — нет.
• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$.

Ответ: Четырехугольник ABCD — трапеция. Его свойство: две противоположные стороны (AB и CD) параллельны, а две другие — нет.

Условие 2010-2022.

177 Построй четырехугольник $ABCD$, проведи необходимые измерения и определи его вид. Какие свойства этого четырехугольника тебе известны?

а) $A (-4; 0)$, $B (0; 6)$, $C (3; 4)$, $D (-1; -2);$

б) $A (1; 4)$, $B (4; 0)$, $C (0; -3)$, $D (-3; 1);$

в) $A (-6; 1)$, $B (0; 3)$, $C (2; 0)$, $D (-4; -2);$

г) $A (3; 0)$, $B (0; -2)$, $C (-4; 0)$, $D (2; 4).$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).