Номер 179, страница 40, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 4. Координатная плоскость. 1. Прямоугольные координаты на плоскости - номер 179, страница 40.

Условие 2023.

179 Построй на координатной плоскости две окружности: одну – с центром в точке $A(-1; 0)$ и радиусом 3 единичных отрезка, а вторую – с центром в точке $B(1; 5)$ и радиусом 4 единичных отрезка. Найди приближённое значение координат точек пересечения этих окружностей ($1$ ед. отр. $= 1$ см).

Решение 2 (2023).

Для нахождения точек пересечения двух окружностей можно использовать графический или аналитический метод. В задаче требуется построить окружности, поэтому начнем с графического метода, а аналитический используем для точности.

1. Построение на координатной плоскости (Графический метод)

1. Начертим координатную плоскость с осями $x$ и $y$. Согласно условию, масштаб 1 единичный отрезок равен 1 см.
2. Отметим центр первой окружности — точку $A(-1; 0)$.
3. С помощью циркуля, установив его ножку в точку $A$, а карандаш на расстоянии 3 см (3 единичных отрезка), проведем первую окружность.
4. Отметим центр второй окружности — точку $B(1; 5)$.
5. Установив ножку циркуля в точку $B$, а карандаш на расстоянии 4 см (4 единичных отрезка), проведем вторую окружность.
6. Окружности пересекутся в двух точках. Оценим их координаты по чертежу.

Из графика видно, что точки пересечения имеют приблизительные координаты $(-2.3; 2.7)$ и $(1.8; 1.1)$.

2. Нахождение точных координат (Аналитический метод)

Для проверки и уточнения результата решим систему уравнений окружностей.
Уравнение первой окружности с центром $A(-1; 0)$ и радиусом $r_1 = 3$:
$(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = 3^2 \implies (x + 1)^2 + y^2 = 9$
Уравнение второй окружности с центром $B(1; 5)$ и радиусом $r_2 = 4$:
$(x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 4^2 \implies (x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 16$

Составим систему уравнений:
$\begin{cases} (x + 1)^2 + y^2 = 9 \\ (x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 16 \end{cases}$

Раскроем скобки в обоих уравнениях:
$\begin{cases} x^2 + 2x + 1 + y^2 = 9 \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 10y + 25 = 16 \end{cases}$
$\begin{cases} x^2 + y^2 + 2x - 8 = 0 \\ x^2 + y^2 - 2x - 10y + 10 = 0 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:
$(x^2 + y^2 + 2x - 8) - (x^2 + y^2 - 2x - 10y + 10) = 0$
$4x + 10y - 18 = 0$
Разделим на 2, чтобы упростить:
$2x + 5y - 9 = 0$

Из полученного линейного уравнения выразим $x$:
$2x = 9 - 5y \implies x = \frac{9 - 5y}{2}$

Подставим это выражение в уравнение первой окружности $(x + 1)^2 + y^2 = 9$:
$(\frac{9 - 5y}{2} + 1)^2 + y^2 = 9$
$(\frac{11 - 5y}{2})^2 + y^2 = 9$
$\frac{(11 - 5y)^2}{4} + y^2 = 9$
$121 - 110y + 25y^2 + 4y^2 = 36$
$29y^2 - 110y + 85 = 0$

Решая это квадратное уравнение, мы находим точные значения $y$, а затем и $x$. Вычисления показывают, что координаты точек пересечения приблизительно равны значениям, полученным графически.

Ответ: Приближенные координаты точек пересечения окружностей: $(-2.3; 2.7)$ и $(1.8; 1.1)$.

Условие 2010-2022.

179 Построй на координатной плоскости две окружности: одну – с центром в точке $A (-1; 0)$ и радиусом 3 единичных отрезка, а вторую – с центром в точке $B (1; 5)$ и радиусом 4 единичных отрезка. Найди приближенное значение координат точек пересечения этих окружностей (1 ед. отр. = 1 см).

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).