Номер 183, страница 41, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 4. Координатная плоскость. 1. Прямоугольные координаты на плоскости - номер 183, страница 41.

Условие 2023.

183 На миллиметровой бумаге провели прямые $AB$ и $CD$ и найди координаты точки их пересечения, если:

a) $A(-1,2; 5,6)$, $B(6,4; -0,8)$, $C(-1,2; -1,8)$, $D(4,9; 1,5)$;

б) $A(2,4; 5,1)$, $B(-3,6; -0,8)$, $C(4,5; -1,3)$, $D(-2,7; 3,9)$.

Решение 2 (2023).

Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, необходимо составить уравнения этих прямых и решить систему полученных уравнений.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

а)

Даны точки A(-1,2; 5,6), B(6,4; -0,8), C(-1,2; -1,8), D(4,9; 1,5).

1. Составим уравнение прямой AB.

Подставим координаты точек A и B в формулу:

$\frac{x - (-1,2)}{6,4 - (-1,2)} = \frac{y - 5,6}{-0,8 - 5,6}$

$\frac{x + 1,2}{7,6} = \frac{y - 5,6}{-6,4}$

$-6,4(x + 1,2) = 7,6(y - 5,6)$

$-6,4x - 7,68 = 7,6y - 42,56$

$6,4x + 7,6y = 34,88$

Умножим обе части на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей, а затем разделим на 40 для упрощения:

$640x + 760y = 34880$

$16x + 19y = 872$ (Уравнение 1)

2. Составим уравнение прямой CD.

Подставим координаты точек C и D в формулу:

$\frac{x - (-1,2)}{4,9 - (-1,2)} = \frac{y - (-1,8)}{1,5 - (-1,8)}$

$\frac{x + 1,2}{6,1} = \frac{y + 1,8}{3,3}$

$3,3(x + 1,2) = 6,1(y + 1,8)$

$3,3x + 3,96 = 6,1y + 10,98$

$3,3x - 6,1y = 7,02$

Умножим обе части на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$330x - 610y = 702$ (Уравнение 2)

3. Решим систему уравнений.

$\begin{cases} 16x + 19y = 872 \\ 330x - 610y = 702 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 610, а второе на 19, чтобы исключить переменную y:

$\begin{cases} 9760x + 11590y = 531920 \\ 6270x - 11590y = 13338 \end{cases}$

Сложим два уравнения:

$(9760 + 6270)x = 531920 + 13338$

$16030x = 545258$

$x = \frac{545258}{16030} = \frac{272629}{8015}$

Так как $8015 = 5 \cdot 1603$, а $272629$ не делится ни на 5, ни на 1603, то дробь несократима. Упростим выражение $x = \frac{54525.8}{1603}$ из-за десятичной ошибки в первоначальном уравнении. Вернемся к системе с десятичными дробями:

$\begin{cases} 16x + 19y = 87.2 \\ 33x - 61y = 70.2 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 61, а второе на 19:

$\begin{cases} 976x + 1159y = 5319.2 \\ 627x - 1159y = 1333.8 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$1603x = 6653$

$x = \frac{6653}{1603}$

Подставим x в первое уравнение $16x + 19y = 87.2$:

$19y = 87.2 - 16 \cdot \frac{6653}{1603} = \frac{87.2 \cdot 1603 - 16 \cdot 6653}{1603} = \frac{139781.6 - 106448}{1603} = \frac{33333.6}{1603}$

$y = \frac{33333.6}{19 \cdot 1603} = \frac{333336}{304570} = \frac{166668}{152285} = \frac{8772}{8015}$

Ответ: $(\frac{6653}{1603}; \frac{8772}{8015})$

б)

Даны точки A(2,4; 5,1), B(-3,6; -0,8), C(4,5; -1,3), D(-2,7; 3,9).

1. Составим уравнение прямой AB.

$\frac{x - 2,4}{-3,6 - 2,4} = \frac{y - 5,1}{-0,8 - 5,1}$

$\frac{x - 2,4}{-6} = \frac{y - 5,1}{-5,9}$

$-5,9(x - 2,4) = -6(y - 5,1)$

$5,9x - 14,16 = 6y - 30,6$

$5,9x - 6y = -16,44$

Умножим на 100 и разделим на 2:

$590x - 600y = -1644$

$295x - 300y = -822$ (Уравнение 1)

2. Составим уравнение прямой CD.

$\frac{x - 4,5}{-2,7 - 4,5} = \frac{y - (-1,3)}{3,9 - (-1,3)}$

$\frac{x - 4,5}{-7,2} = \frac{y + 1,3}{5,2}$

$5,2(x - 4,5) = -7,2(y + 1,3)$

$52x - 234 = -72y - 93,6$

$52x + 72y = 140,4$

Умножим на 10 и разделим на 4:

$520x + 720y = 1404$

$130x + 180y = 351$ (Уравнение 2)

3. Решим систему уравнений.

$\begin{cases} 295x - 300y = -822 \\ 130x + 180y = 351 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 5, чтобы исключить y:

$\begin{cases} 885x - 900y = -2466 \\ 650x + 900y = 1755 \end{cases}$

Сложим два уравнения:

$(885 + 650)x = -2466 + 1755$

$1535x = -711$

$x = -\frac{711}{1535}$

Подставим x во второе уравнение $130x + 180y = 351$:

$180y = 351 - 130x = 351 - 130(-\frac{711}{1535}) = 351 + \frac{130 \cdot 711}{1535}$

$180y = 351 + \frac{92430}{1535} = \frac{351 \cdot 1535 + 92430}{1535} = \frac{538785 + 92430}{1535} = \frac{631215}{1535}$

$y = \frac{631215}{180 \cdot 1535} = \frac{631215}{276300}$

Сократим дробь на 5, а затем на 9:

$y = \frac{126243}{55260} = \frac{14027}{6140}$

Ответ: $(-\frac{711}{1535}; \frac{14027}{6140})$

Условие 2010-2022.

183 На миллиметровой бумаге провели прямые $AB$ и $CD$ и найди координаты точки их пересечения, если:

a) $A(-1.2; 5.6)$, $B(6.4; -0.8)$, $C(-1.2; -1.8)$, $D(4.9; 1.5)$;

б) $A(2.4; 5.1)$, $B(-3.6; -0.8)$, $C(4.5; -1.3)$, $D(-2.7; 3.9)$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).