Номер 186, страница 42, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

1. Прямоугольные координаты на плоскости. Параграф 4. Координатная плоскость. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 186, страница 42.

Условие 2023.

186 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний построй отрицания:

a) $ \forall a \in Q: |a| \ge 0;$

б) $ \exists a \in Q: |a| = |-a|;$

в) $ \forall a, b \in Q: |a + b| = |a| + |b|;$

г) $ \exists a, b \in Q: |a + b| \ge |a - b|.$

Решение 2 (2023).

а) Высказывание $ \forall a \in Q: |a| \geq 0 $ читается как "для любого рационального числа $a$ его модуль больше или равен нулю".

По определению, модуль (абсолютная величина) числа является расстоянием от этого числа до нуля на числовой прямой. Расстояние не может быть отрицательной величиной. Следовательно, для любого рационального числа $a$ его модуль $|a|$ всегда будет неотрицательным, то есть $ |a| \geq 0 $.

Таким образом, данное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

б) Высказывание $ \exists a \in Q: |a| = |-a| $ читается как "существует такое рациональное число $a$, что модуль числа $a$ равен модулю противоположного ему числа $-a$".

Это свойство модуля является верным для всех без исключения рациональных чисел. Чтобы доказать истинность высказывания с квантором существования ($ \exists $), достаточно найти хотя бы один пример, удовлетворяющий условию. Возьмем, к примеру, $a = 7$. Тогда $|a|=|7|=7$ и $|-a|=|-7|=7$. Равенство $|7|=|-7|$ выполняется. Так как мы нашли пример, высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

в) Высказывание $ \forall a, b \in Q: |a+b| = |a| + |b| $ читается как "для любых рациональных чисел $a$ и $b$ модуль их суммы равен сумме их модулей".

Данное утверждение является ложным. Равенство $|a+b| = |a| + |b|$ справедливо только в том случае, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки или одно из них (или оба) равно нулю. Чтобы опровергнуть высказывание с квантором всеобщности ($ \forall $), достаточно привести один контрпример.

Пусть $a=5$ и $b=-2$. Тогда:

Левая часть: $|a+b| = |5 + (-2)| = |3| = 3$.

Правая часть: $|a| + |b| = |5| + |-2| = 5 + 2 = 7$.

Так как $3 \neq 7$, исходное высказывание ложно.

Отрицанием высказывания "для всех ... верно, что ..." является высказывание "существует ..., для которого неверно, что ...". Следовательно, отрицанием для $ \forall a, b \in Q: |a+b| = |a| + |b| $ будет $ \exists a, b \in Q: |a+b| \neq |a| + |b| $.

Ответ: Ложно. Отрицание: $ \exists a, b \in Q: |a+b| \neq |a| + |b| $.

г) Высказывание $ \exists a, b \in Q: |a+b| \geq |a-b| $ читается как "существуют такие рациональные числа $a$ и $b$, что модуль их суммы больше или равен модулю их разности".

Для доказательства истинности этого высказывания достаточно найти хотя бы одну пару чисел $a$ и $b$, для которой неравенство выполняется.

Возьмем $a=3$ и $b=2$. Тогда:

Левая часть: $|a+b| = |3+2| = |5| = 5$.

Правая часть: $|a-b| = |3-2| = |1| = 1$.

Неравенство $5 \geq 1$ является верным. Следовательно, мы нашли пример, подтверждающий существование таких чисел, и исходное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

Условие 2010-2022.

186 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $\forall a \in Q: |a| \ge 0;$

б) $\exists a \in Q: |a| = |-a|;$

в) $\forall a, b \in Q: |a+b| = |a| + |b|;$

г) $\exists a, b \in Q: |a+b| \ge |a-b|.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).