Номер 182, страница 41, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 4. Координатная плоскость. 1. Прямоугольные координаты на плоскости - номер 182, страница 41.

Условие 2023.

182 Построй на миллиметровой бумаге координатную плоскость и проведи окружность с центром в начале координат и радиусом $3,5$ единичных отрезка.

Найди на окружности точки:

а) абсцисса которых равна: $-2,8$; $-0,5$; $1,9$;

б) ордината которых равна: $-2,8$; $-0,5$; $1,9$. Что ты замечаешь?

Решение 2 (2023).

Задача состоит в построении окружности и нахождении на ней точек с заданными координатами. Хотя построение выполняется на миллиметровой бумаге для наглядности, точные координаты точек мы найдем аналитически, используя уравнение окружности.

Окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$ описывается уравнением $x^2 + y^2 = R^2$. В данном случае радиус $R = 3,5$ единичных отрезка, поэтому уравнение нашей окружности:
$x^2 + y^2 = 3.5^2$
$x^2 + y^2 = 12.25$
Используя это уравнение, мы можем найти одну координату точки, зная другую.

а) абсцисса которых равна: -2,8; -0,5; 1,9;

Для нахождения соответствующей ординаты ($y$) будем использовать формулу, выведенную из уравнения окружности: $y^2 = 12.25 - x^2$, откуда $y = \pm\sqrt{12.25 - x^2}$.

1. Если абсцисса $x = -2.8$:
$y = \pm\sqrt{12.25 - (-2.8)^2} = \pm\sqrt{12.25 - 7.84} = \pm\sqrt{4.41} = \pm2.1$.
Следовательно, на окружности есть две точки с такой абсциссой: $(-2.8, 2.1)$ и $(-2.8, -2.1)$.

2. Если абсцисса $x = -0.5$:
$y = \pm\sqrt{12.25 - (-0.5)^2} = \pm\sqrt{12.25 - 0.25} = \pm\sqrt{12} \approx \pm3.46$.
Найденные точки: $(-0.5, \approx3.46)$ и $(-0.5, \approx-3.46)$.

3. Если абсцисса $x = 1.9$:
$y = \pm\sqrt{12.25 - 1.9^2} = \pm\sqrt{12.25 - 3.61} = \pm\sqrt{8.64} \approx \pm2.94$.
Найденные точки: $(1.9, \approx2.94)$ и $(1.9, \approx-2.94)$.

Ответ: Точки с заданными абсциссами: $(-2.8, 2.1)$ и $(-2.8, -2.1)$; $(-0.5, \approx3.46)$ и $(-0.5, \approx-3.46)$; $(1.9, \approx2.94)$ и $(1.9, \approx-2.94)$.

б) ордината которых равна: -2,8; -0,5; 1,9. Что ты замечаешь?

Теперь находим абсциссу ($x$) по формуле $x^2 = 12.25 - y^2$, откуда $x = \pm\sqrt{12.25 - y^2}$.

1. Если ордината $y = -2.8$:
$x = \pm\sqrt{12.25 - (-2.8)^2} = \pm\sqrt{12.25 - 7.84} = \pm\sqrt{4.41} = \pm2.1$.
Найденные точки: $(2.1, -2.8)$ и $(-2.1, -2.8)$.

2. Если ордината $y = -0.5$:
$x = \pm\sqrt{12.25 - (-0.5)^2} = \pm\sqrt{12.25 - 0.25} = \pm\sqrt{12} \approx \pm3.46$.
Найденные точки: $(\approx3.46, -0.5)$ и $(\approx-3.46, -0.5)$.

3. Если ордината $y = 1.9$:
$x = \pm\sqrt{12.25 - 1.9^2} = \pm\sqrt{12.25 - 3.61} = \pm\sqrt{8.64} \approx \pm2.94$.
Найденные точки: $(\approx2.94, 1.9)$ и $(\approx-2.94, 1.9)$.

Ответ: Точки с заданными ординатами: $(2.1, -2.8)$ и $(-2.1, -2.8)$; $(\approx3.46, -0.5)$ и $(\approx-3.46, -0.5)$; $(\approx2.94, 1.9)$ и $(\approx-2.94, 1.9)$.

Что ты замечаешь?

Сравнивая результаты пунктов а) и б), можно заметить интересную закономерность, которая следует из симметрии окружности.
Ответ: Для одного и того же числового значения (например, -2.8), которое в пункте а) было абсциссой, а в пункте б) — ординатой, модуль вычисленной второй координаты получается одинаковым (в нашем примере это 2.1). Это объясняется тем, что уравнение окружности $x^2 + y^2 = R^2$ симметрично относительно переменных $x$ и $y$. Если поменять их местами, уравнение не изменится. Поэтому, если точка с координатами $(a, b)$ лежит на такой окружности, то и точка с координатами $(b, a)$ также будет ей принадлежать.

Условие 2010-2022.

182 Построй на миллиметровой бумаге координатную плоскость и проведи окружность с центром в начале координат и радиусом 3,5 единичных отрезка.

Найди на окружности точки:

а) абсцисса которых равна: -2,8; -0,5; 1,9;

б) ордината которых равна: -2,8; -0,5; 1,9. Что ты замечаешь?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).