Номер 175, страница 40, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 4. Координатная плоскость. 1. Прямоугольные координаты на плоскости - номер 175, страница 40.

Условие 2023.

175 Построй точки $A(-6; -3)$, $B(6; 1)$, $C(0; -1)$ и $D(3; 0)$. Что ты замечаешь?

Проведи необходимые измерения и определи, в каком отношении делит отрезок $AB$ точка $C$, точка $D$.

Решение 2 (2023).

Построй точки A (-6; -3), B (6; 1), C (0; -1) и D (3; 0). Что ты замечаешь?

Для построения точек на координатной плоскости используем их координаты $(x; y)$.

• Точка A имеет координаты (-6; -3): от начала координат отступаем на 6 единиц влево по оси Ox и на 3 единицы вниз по оси Oy.
• Точка B имеет координаты (6; 1): отступаем на 6 единиц вправо по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy.
• Точка C имеет координаты (0; -1): точка лежит на оси Oy на 1 единицу ниже начала координат.
• Точка D имеет координаты (3; 0): точка лежит на оси Ox на 3 единицы правее начала координат.

Если построить эти точки на координатной плоскости и соединить их, можно заметить, что все четыре точки лежат на одной прямой. Проверим это утверждение аналитически, найдя уравнение прямой, проходящей через точки A и B, и проверив, принадлежат ли ей точки C и D.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле:

$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты точек A(-6; -3) и B(6; 1):

$\frac{y - (-3)}{1 - (-3)} = \frac{x - (-6)}{6 - (-6)}$

$\frac{y + 3}{4} = \frac{x + 6}{12}$

Умножим обе части на 12:

$3(y + 3) = x + 6$

$3y + 9 = x + 6$

$x - 3y - 3 = 0$

Это уравнение нашей прямой. Теперь проверим, лежат ли на ней точки C и D.

Для точки C(0; -1):

$0 - 3(-1) - 3 = 3 - 3 = 0$. Равенство $0=0$ верное, значит точка C принадлежит прямой.

Для точки D(3; 0):

$3 - 3(0) - 3 = 3 - 3 = 0$. Равенство $0=0$ верное, значит точка D принадлежит прямой.

Таким образом, все четыре точки лежат на одной прямой.

Ответ: Все четыре точки A, B, C и D лежат на одной прямой.

Проведи необходимые измерения и определи, в каком отношении делит отрезок AB точка C, точка D.

Чтобы определить, в каком отношении точка делит отрезок, необходимо найти отношение длин отрезков, на которые она его разбивает. Вместо измерений на чертеже, которые могут быть неточными, воспользуемся точной формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Отношение для точки C

Найдем отношение длин отрезков $AC : CB$.

Длина отрезка AC, где A(-6; -3) и C(0; -1):

$AC = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$

Длина отрезка CB, где C(0; -1) и B(6; 1):

$CB = \sqrt{(6 - 0)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$

Отношение длин:

$\frac{AC}{CB} = \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{40}} = 1$

Следовательно, точка C делит отрезок AB в отношении 1:1, то есть является его серединой.

Отношение для точки D

Найдем отношение длин отрезков $AD : DB$.

Длина отрезка AD, где A(-6; -3) и D(3; 0):

$AD = \sqrt{(3 - (-6))^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{9^2 + 3^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90}$

Длина отрезка DB, где D(3; 0) и B(6; 1):

$DB = \sqrt{(6 - 3)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

Отношение длин:

$\frac{AD}{DB} = \frac{\sqrt{90}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{90}{10}} = \sqrt{9} = 3$

Следовательно, точка D делит отрезок AB в отношении 3:1.

Ответ: Точка C делит отрезок AB в отношении 1:1. Точка D делит отрезок AB в отношении 3:1 (считая от точки A).

Условие 2010-2022.

175 Построй точки $A(-6; -3)$, $B(6; 1)$, $C(0; -1)$ и $D(3; 0)$. Что ты замечаешь?
Проведи необходимые измерения и определи, в каком отношении делит отрезок AB точка C, точка D?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).