Номер 176, страница 40, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 4. Координатная плоскость. 1. Прямоугольные координаты на плоскости - номер 176, страница 40.

Условие 2023.

176. а) Построй прямые $AB$ и $CD$, если $A (0; 8)$, $B (5; -2)$, $C (-6; 0)$, $D (4; 5)$. Найди координаты точки пересечения этих прямых. Что интересного в их расположении? Сколько точек пересечения могут иметь две различные прямые?

б) Построй окружность с центром в точке $A (-3; 1)$ и радиусом $4$ единичных отрезка. Найди координаты точек пересечения этой окружности с прямой $BC$, если $B (-5; 7)$, $C (4; -2)$. Сколько точек пересечения могут иметь прямая и окружность?

в) Построй одну окружность с центром в точке $A (-2; -1)$ и радиусом $3$ единичных отрезка, а вторую – с центром в точке $B (6; -1)$ и радиусом $5$ единичных отрезков. Найди координаты их общей точки. Сколько точек пересечения могут иметь две окружности?

Решение 2 (2023).

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых AB и CD, сначала найдем уравнения этих прямых. Уравнение прямой в общем виде: $y = kx + b$.
1. Найдем уравнение прямой AB, проходящей через точки A(0; 8) и B(5; -2).
Подставим координаты точки A(0; 8) в уравнение прямой: $8 = k \cdot 0 + b$, откуда получаем $b = 8$.
Теперь подставим координаты точки B(5; -2) и найденное значение b: $-2 = k \cdot 5 + 8 \implies 5k = -10 \implies k = -2$.
Таким образом, уравнение прямой AB: $y = -2x + 8$.
2. Найдем уравнение прямой CD, проходящей через точки C(-6; 0) и D(4; 5).
Составим систему уравнений, подставив координаты точек:
$\begin{cases} 0 = -6k + b \\ 5 = 4k + b \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $b$: $b = 6k$. Подставим это выражение во второе уравнение: $5 = 4k + 6k \implies 5 = 10k \implies k = 0.5$.
Теперь найдем $b$: $b = 6 \cdot 0.5 = 3$.
Таким образом, уравнение прямой CD: $y = 0.5x + 3$.
3. Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений для прямых AB и CD:
$\begin{cases} y = -2x + 8 \\ y = 0.5x + 3 \end{cases}$
Приравняем правые части уравнений: $-2x + 8 = 0.5x + 3$.
Перенесем слагаемые: $8 - 3 = 0.5x + 2x \implies 5 = 2.5x \implies x = 2$.
Подставим найденное значение $x = 2$ в любое из уравнений, например, в первое: $y = -2(2) + 8 = -4 + 8 = 4$.
Координаты точки пересечения (2; 4).
Интересная особенность в расположении этих прямых заключается в том, что они перпендикулярны. Это можно проверить, умножив их угловые коэффициенты: $k_{AB} \cdot k_{CD} = -2 \cdot 0.5 = -1$. Если произведение угловых коэффициентов двух прямых равно -1, то прямые перпендикулярны.
Две различные прямые на плоскости могут иметь либо одну точку пересечения (если их угловые коэффициенты не равны), либо ни одной точки пересечения (если они параллельны, то есть их угловые коэффициенты равны, а сдвиги по оси y различны).
Ответ: Координаты точки пересечения (2; 4). Прямые перпендикулярны. Две различные прямые могут иметь одну или ноль точек пересечения.

б) 1. Уравнение окружности с центром в точке A(-3; 1) и радиусом $r=4$ имеет вид $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = r^2$.
Подставив данные, получаем: $(x - (-3))^2 + (y - 1)^2 = 4^2 \implies (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 16$.
2. Найдем уравнение прямой BC, проходящей через точки B(-5; 7) и C(4; -2). Уравнение прямой: $y = kx + b$.
Составим систему уравнений:
$\begin{cases} 7 = -5k + b \\ -2 = 4k + b \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого: $7 - (-2) = -5k - 4k \implies 9 = -9k \implies k = -1$.
Подставим $k = -1$ в первое уравнение: $7 = -5(-1) + b \implies 7 = 5 + b \implies b = 2$.
Уравнение прямой BC: $y = -x + 2$.
3. Найдем точки пересечения окружности и прямой, решив систему уравнений:
$\begin{cases} (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 16 \\ y = -x + 2 \end{cases}$
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$(x + 3)^2 + ((-x + 2) - 1)^2 = 16$
$(x + 3)^2 + (-x + 1)^2 = 16$
Раскроем скобки: $(x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 2x + 1) = 16$.
Приведем подобные слагаемые: $2x^2 + 4x + 10 = 16$.
Перенесем 16 в левую часть: $2x^2 + 4x - 6 = 0$.
Разделим уравнение на 2: $x^2 + 2x - 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня:
При $x_1 = 1$: $y_1 = -1 + 2 = 1$. Первая точка пересечения (1; 1).
При $x_2 = -3$: $y_2 = -(-3) + 2 = 3 + 2 = 5$. Вторая точка пересечения (-3; 5).
Прямая и окружность могут иметь две точки пересечения (если прямая является секущей), одну точку пересечения (если прямая является касательной) или не иметь общих точек.
Ответ: Координаты точек пересечения: (1; 1) и (-3; 5). Прямая и окружность могут иметь 0, 1 или 2 точки пересечения.

в) 1. Уравнение первой окружности с центром в точке A(-2; -1) и радиусом $r_1 = 3$:
$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 3^2 \implies (x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$.
2. Уравнение второй окружности с центром в точке B(6; -1) и радиусом $r_2 = 5$:
$(x - 6)^2 + (y + 1)^2 = 5^2 \implies (x - 6)^2 + (y + 1)^2 = 25$.
3. Для нахождения координат их общих точек решим систему этих двух уравнений:
$\begin{cases} (x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 \\ (x - 6)^2 + (y + 1)^2 = 25 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго. Член $(y + 1)^2$ сократится:
$(x - 6)^2 - (x + 2)^2 = 25 - 9$
$(x - 6)^2 - (x + 2)^2 = 16$
Раскроем скобки: $(x^2 - 12x + 36) - (x^2 + 4x + 4) = 16$.
$x^2 - 12x + 36 - x^2 - 4x - 4 = 16$.
$-16x + 32 = 16$.
$-16x = 16 - 32 \implies -16x = -16 \implies x = 1$.
Подставим $x = 1$ в уравнение первой окружности, чтобы найти $y$:
$(1 + 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$
$3^2 + (y + 1)^2 = 9 \implies 9 + (y + 1)^2 = 9$.
$(y + 1)^2 = 0 \implies y + 1 = 0 \implies y = -1$.
Таким образом, окружности имеют одну общую точку с координатами (1; -1). Это означает, что они касаются. Расстояние между центрами A и B равно $d = \sqrt{(6-(-2))^2 + (-1-(-1))^2} = \sqrt{8^2} = 8$. Сумма радиусов $r_1 + r_2 = 3 + 5 = 8$. Поскольку $d = r_1 + r_2$, окружности касаются внешним образом.
Две различные окружности могут иметь две точки пересечения, одну точку (если они касаются) или не иметь общих точек.
Ответ: Координаты общей точки (1; -1). Две различные окружности могут иметь 0, 1 или 2 точки пересечения.

Условие 2010-2022.

176 а) Построй прямые $AB$ и $CD$, если $A (0; 8)$, $B (5; -2)$, $C (-6; 0)$, $D (4; 5)$. Найди координаты точки пересечения этих прямых. Что интересного в их расположении? Сколько точек пересечения могут иметь две различные прямые?

б) Построй окружность с центром в точке $A (-3; 1)$ и радиусом 4 единичных отрезка. Найди координаты точек пересечения этой окружности с прямой $BC$, если $B (-5; 7)$, $C (4; -2)$. Сколько точек пересечения могут иметь прямая и окружность?

в) Построй одну окружность с центром в точке $A (-2; -1)$ и радиусом 3 единичных отрезка, а вторую – с центром в точке $B (6; -1)$ и радиусом 5 единичных отрезков. Найди координаты их общей точки. Сколько точек пересечения могут иметь две окружности?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).