Номер 207, страница 45, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

1. Прямоугольные координаты на плоскости. Параграф 4. Координатная плоскость. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 207, страница 45.

Условие 2023.

207* Когда трёхзначное число, у которого цифры сотен и десятков одинаковые, а цифра единиц равна 5, разделили на однозначное число, то в остатке получили 8. Чему равны делимое, делитель и частное?

Решение 2 (2023).

Обозначим искомые величины. Пусть делимое — это $D$, делитель — $d$, частное — $q$. По условию задачи:

• Делимое $D$ — это трёхзначное число, у которого цифры сотен и десятков одинаковы, а цифра единиц равна 5. Если обозначить одинаковые цифры сотен и десятков буквой $a$ (где $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9), то число можно записать в виде $\overline{aa5}$. В математической форме это выражается как $D = 100 \cdot a + 10 \cdot a + 5 = 110a + 5$.
• Делитель $d$ — это однозначное число, то есть $d \in \{1, 2, ..., 9\}$.
• При делении $D$ на $d$ в остатке получается 8.

Основное свойство деления с остатком можно записать формулой:

$D = d \cdot q + R$,

где $R$ — остаток. В нашем случае $R=8$.

Подставим известные значения в формулу:

$110a + 5 = d \cdot q + 8$

Важным правилом деления с остатком является то, что остаток всегда должен быть меньше делителя ($R < d$).

Поскольку остаток равен 8, то $8 < d$. Учитывая, что $d$ — это однозначное число, единственное возможное значение для $d$ — это 9.

Итак, мы нашли делитель: $d = 9$.

Теперь подставим значение $d=9$ в наше уравнение:

$110a + 5 = 9 \cdot q + 8$

Преобразуем уравнение, чтобы выразить произведение $9 \cdot q$:

$9 \cdot q = 110a + 5 - 8$

$9 \cdot q = 110a - 3$

Из этого уравнения следует, что выражение $(110a - 3)$ должно быть кратно 9. Чтобы проверить делимость на 9, можно использовать признак делимости: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Будем поочередно подставлять возможные значения для $a$ (от 1 до 9) и проверять это условие.

• Если $a=1$, то $110 \cdot 1 - 3 = 107$. Сумма цифр $1+0+7=8$, не делится на 9.
• Если $a=2$, то $110 \cdot 2 - 3 = 217$. Сумма цифр $2+1+7=10$, не делится на 9.
• Если $a=3$, то $110 \cdot 3 - 3 = 327$. Сумма цифр $3+2+7=12$, не делится на 9.
• Если $a=4$, то $110 \cdot 4 - 3 = 437$. Сумма цифр $4+3+7=14$, не делится на 9.
• Если $a=5$, то $110 \cdot 5 - 3 = 547$. Сумма цифр $5+4+7=16$, не делится на 9.
• Если $a=6$, то $110 \cdot 6 - 3 = 657$. Сумма цифр $6+5+7=18$. $18$ делится на 9, значит, это значение $a$ нам подходит.

Продолжать перебор нет необходимости, так как в подобных задачах обычно предполагается единственное решение. Мы нашли, что $a=6$.

Теперь мы можем найти делимое и частное:

Делимое: $D = 110a + 5 = 110 \cdot 6 + 5 = 660 + 5 = 665$.

Делитель: $d = 9$.

Частное: $q = (110a - 3) / 9 = 657 / 9 = 73$.

Проверим результат: $665 \div 9 = 73$ и $8$ в остатке. ($9 \times 73 + 8 = 657 + 8 = 665$).

Ответ: делимое равно 665, делитель равен 9, частное равно 73.

Условие 2010-2022.

207 Когда трехзначное число, у которого цифры сотен и десятков одинаковые, а цифра единиц равна 5, разделили на однозначное число, то в остатке получили 8. Чему равны делимое, делитель и частное?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).