Номер 210, страница 47, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Графики зависимостей величин. Параграф 4. Координатная плоскость. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 210, страница 47.

Условие 2023.

210 По таблице установи формулу зависимости между переменными $y$ и $x$ и построй график этой зависимости на координатной плоскости. Какие из этих зависимостей являются функциональными? Какие из них являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью?

а) $x$ | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
$y$ | 8 | 6 | 4 | 2 | 0 | -2 | -4 | -6 | -8

б) $x$ | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
$y$ | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4

в) $x$ | -4 | -2 | -1 | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 4
$y$ | $-\frac{1}{4}$ | $-\frac{1}{2}$ | -1 | -2 | -4 | 4 | 2 | 1 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$

г) $x$ | -3 | -2 | -1 | $-\frac{1}{2}$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 3
$y$ | 9 | 4 | 1 | $\frac{1}{4}$ | 0 | $\frac{1}{4}$ | 1 | 4 | 9

Решение 2 (2023).

а)

1. Формула зависимости. Проанализируем данные из таблицы. Для каждой пары $(x, y)$, где $x \ne 0$, найдем отношение $\frac{y}{x}$.
$\frac{8}{-4} = -2$; $\frac{6}{-3} = -2$; $\frac{4}{-2} = -2$; $\frac{2}{-1} = -2$; $\frac{-2}{1} = -2$; $\frac{-4}{2} = -2$; $\frac{-6}{3} = -2$; $\frac{-8}{4} = -2$.
Отношение $\frac{y}{x}$ постоянно и равно $-2$. Это соответствует формуле прямой пропорциональности $y = kx$, где $k = -2$. Проверим точку $(0, 0)$: $0 = -2 \cdot 0$. Равенство верное.
Таким образом, формула зависимости: $y = -2x$.

2. График. Графиком функции $y = -2x$ является прямая линия, проходящая через начало координат (точку $(0, 0)$) и, например, точку $(1, -2)$. Все точки из таблицы лежат на этой прямой.

3. Функциональная зависимость. Да, эта зависимость является функциональной, так как каждому значению переменной $x$ соответствует единственное значение переменной $y$.

4. Тип пропорциональности. Зависимость вида $y = kx$ ($k \ne 0$) является прямой пропорциональностью.

Ответ: Формула $y = -2x$. График - прямая линия. Зависимость является функциональной и представляет собой прямую пропорциональность.

б)

1. Формула зависимости. Рассмотрим значения из таблицы.
При $x \ge 0$, значения $y$ равны значениям $x$: $(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)$. То есть, $y=x$.
При $x < 0$, значения $y$ равны значениям $x$, взятым с противоположным знаком: $(-1, 1), (-2, 2), (-3, 3), (-4, 4)$. То есть, $y=-x$.
Объединяя эти два случая, получаем формулу модуля (абсолютной величины): $y = |x|$.

2. График. График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат. Один луч - биссектриса первого координатного угла ($y = x$ при $x \ge 0$), второй - биссектриса второго координатного угла ($y = -x$ при $x < 0$).

3. Функциональная зависимость. Да, эта зависимость является функциональной, так как каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$.

4. Тип пропорциональности. Эта зависимость не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью, так как она не может быть представлена в виде $y=kx$ или $y=\frac{k}{x}$ для всей области определения.

Ответ: Формула $y = |x|$. График - "галочка" с вершиной в начале координат. Зависимость является функциональной, но не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.

в)

1. Формула зависимости. Проанализируем данные из таблицы. Для каждой пары $(x, y)$ найдем произведение $x \cdot y$.
$(-4) \cdot (-\frac{1}{4}) = 1$; $(-2) \cdot (-\frac{1}{2}) = 1$; $(-1) \cdot (-1) = 1$; $(-\frac{1}{2}) \cdot (-2) = 1$; $(-\frac{1}{4}) \cdot (-4) = 1$;
$(\frac{1}{4}) \cdot 4 = 1$; $(\frac{1}{2}) \cdot 2 = 1$; $1 \cdot 1 = 1$; $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$; $4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
Произведение $x \cdot y$ постоянно и равно $1$. Это соответствует формуле обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$, где $k = 1$.
Таким образом, формула зависимости: $y = \frac{1}{x}$.

2. График. Графиком функции $y = \frac{1}{x}$ является гипербола, состоящая из двух ветвей. Одна ветвь расположена в первом координатном угле (для $x > 0$), а вторая - в третьем координатном угле (для $x < 0$). График не пересекает оси координат.

3. Функциональная зависимость. Да, эта зависимость является функциональной (для $x \ne 0$), так как каждому значению переменной $x$ из области определения соответствует единственное значение переменной $y$.

4. Тип пропорциональности. Зависимость вида $y = \frac{k}{x}$ ($k \ne 0$) является обратной пропорциональностью.

Ответ: Формула $y = \frac{1}{x}$. График - гипербола. Зависимость является функциональной и представляет собой обратную пропорциональность.

г)

1. Формула зависимости. Рассмотрим, как $y$ зависит от $x$.
$(-3)^2 = 9$; $(-2)^2 = 4$; $(-1)^2 = 1$; $(-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$; $0^2 = 0$; $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$; $1^2 = 1$; $2^2 = 4$; $3^2 = 9$.
Видно, что каждое значение $y$ является квадратом соответствующего значения $x$.
Таким образом, формула зависимости: $y = x^2$.

2. График. Графиком функции $y = x^2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0, 0)$. График симметричен относительно оси $Oy$.

3. Функциональная зависимость. Да, эта зависимость является функциональной, так как каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$.

4. Тип пропорциональности. Эта зависимость не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью, так как она не может быть представлена в виде $y=kx$ или $y=\frac{k}{x}$.

Ответ: Формула $y = x^2$. График - парабола. Зависимость является функциональной, но не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.

Условие 2010-2022.

210 По таблице установи формулу зависимости между переменными $y$ и $x$ и построй график этой зависимости на координатной плоскости. Какие из этих зависимостей являются функциональными? Какие из них являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью?

a) x: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

y: 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, -6, -8

б) x: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

y: 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4

в) x: -4, -2, -1, $-\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, 1, 2, 4

y: $-\frac{1}{4}$, $-\frac{1}{2}$, -1, -2, -4, 4, 2, 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$

г) x: -3, -2, -1, $-\frac{1}{2}$, 0, $\frac{1}{2}$, 1, 2, 3

y: 9, 4, 1, $\frac{1}{4}$, 0, $\frac{1}{4}$, 1, 4, 9

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).