Номер 212, страница 47, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Графики зависимостей величин. Параграф 4. Координатная плоскость. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 212, страница 47.

Условие 2023.

212 Построй на одной координатной плоскости графики трёх данных зависимостей y от x:

a) $y=\frac{1}{3}x$, $y=x$ и $y=3x$;

б) $y=2x$, $y=2x+3$ и $y=2x-1$.

Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу.

Решение 2 (2023).

а)

Все три зависимости $y=\frac{1}{3}x$, $y=x$ и $y=3x$ являются частными случаями линейной функции $y=kx$, где свободный член $b=0$. Графиком такой функции является прямая линия, проходящая через начало координат $(0,0)$.

Для построения каждой прямой найдем еще по одной точке, так как первая точка $(0,0)$ у них общая:

• Для $y=\frac{1}{3}x$: если $x=3$, то $y=\frac{1}{3} \cdot 3 = 1$. Вторая точка — $(3,1)$.
• Для $y=x$: если $x=2$, то $y=2$. Вторая точка — $(2,2)$.
• Для $y=3x$: если $x=1$, то $y=3 \cdot 1 = 3$. Вторая точка — $(1,3)$.

Построив эти три прямые на одной координатной плоскости, мы можем сделать наблюдения.

Что ты наблюдаешь?

Все три графика — это прямые, которые пересекаются в одной точке — начале координат $(0,0)$. Они имеют разный угол наклона к оси абсцисс (оси $Ox$). Чем больше коэффициент $k$ (в нашем случае $k$ принимает значения $\frac{1}{3}$, $1$, $3$), тем "круче" идет прямая, то есть тем больший угол она образует с положительным направлением оси $Ox$. График функции $y=3x$ расположен ближе всего к оси $Oy$, а график $y=\frac{1}{3}x$ — дальше всего.

Сформулируй гипотезу.

Гипотеза: График функции вида $y=kx$ — это прямая, проходящая через начало координат. Коэффициент $k$, называемый угловым коэффициентом, определяет угол наклона этой прямой к оси $Ox$. Чем больше модуль коэффициента $|k|$, тем круче расположен график (тем ближе он прижимается к оси $Oy$). Знак коэффициента $k$ определяет, в каких координатных четвертях расположен график: при $k>0$ — в I и III, при $k<0$ — во II и IV.

Ответ: Все графики - прямые, проходящие через начало координат, с разным углом наклона. Гипотеза: угловой коэффициент $k$ в уравнении $y=kx$ определяет угол наклона прямой к оси $x$. С увеличением $|k|$ угол наклона к оси $Ox$ увеличивается (прямая становится "круче").

б)

Все три зависимости $y=2x$, $y=2x+3$ и $y=2x-1$ являются линейными функциями вида $y=kx+b$. Их графики — прямые линии. Обратим внимание, что угловой коэффициент $k=2$ у всех трех функций одинаковый.

Для построения каждой прямой найдем по две точки:

• Для $y=2x$: если $x=0$, то $y=0$; если $x=1$, то $y=2$. Точки $(0,0)$ и $(1,2)$.
• Для $y=2x+3$: если $x=0$, то $y=3$; если $x=-1$, то $y=2(-1)+3 = 1$. Точки $(0,3)$ и $(-1,1)$.
• Для $y=2x-1$: если $x=0$, то $y=-1$; если $x=1$, то $y=2(1)-1 = 1$. Точки $(0,-1)$ и $(1,1)$.

Построив эти три прямые на одной координатной плоскости, мы можем сделать наблюдения.

Что ты наблюдаешь?

Все три графика — это параллельные прямые. У них одинаковый угол наклона к оси $Ox$, так как угловой коэффициент $k$ у всех трех функций одинаков и равен 2. Прямые пересекают ось ординат (ось $Oy$) в разных точках: $(0,0)$, $(0,3)$ и $(0,-1)$. Ординаты этих точек равны свободному члену $b$ в уравнении каждой прямой.

Сформулируй гипотезу.

Гипотеза: Графики линейных функций вида $y=kx+b$ с одинаковым угловым коэффициентом $k$ и разными значениями $b$ являются параллельными прямыми. Коэффициент $b$ определяет точку пересечения прямой с осью $Oy$, ее координаты $(0, b)$. График функции $y=kx+b$ можно получить из графика функции $y=kx$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на $|b|$ единиц: вверх, если $b>0$, и вниз, если $b<0$.

Ответ: Все графики - параллельные прямые. Гипотеза: в уравнении $y=kx+b$ коэффициент $k$ определяет наклон прямой, а коэффициент $b$ - точку пересечения с осью $Oy$. Графики с одинаковым $k$ и разным $b$ параллельны друг другу.

Условие 2010-2022.

212 Построй на одной координатной плоскости графики трех данных зависимостей $y$ от $x$:

a) $y = \frac{1}{3}x$, $y = x$ и $y = 3x$;

б) $y = 2x$, $y = 2x + 3$ и $y = 2x - 1$.

Что ты наблюдаешь? Сформулируй гипотезу.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).